Determine o núcleo e imagem da transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+y-z, y+2 z, x+3 y+z).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (2x + y - z,;y + 2z,;x + 3y + z)
Queremos encontrar o núcleo ker(T) e a imagem Im(T). Para isso, vamos (i) resolver o sistema T(x,y,z)=0 e (ii) usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para achar ker(T), impomos
T(x,y,z)=(0,0,0),
ou seja o sistema
2x + y - z = 0, y + 2z = 0, x + 3y + z = 0

Passo 3

Da segunda equação vem ,y = -2z. Substituindo na primeira,
2x + (-2z) - z = 0 ;Longrightarrow; 2x - 3z = 0 ;Longrightarrow; x = tfrac32,z
Agora a terceira equação fica
x + 3y + z = tfrac32,z + 3(-2z) + z = l(tfrac32 -6 +1r)z = -tfrac72,z =0 ;Longrightarrow; z=0
Então z=0, y=-2cdot0=0 e x=tfrac32cdot0=0.

Passo 4

Concluímos que a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Logo
ker(T)=(0,0,0),
isto é, dimker(T)=0.

Passo 5

Pelo Teorema da Dimensão (nullity–rank),
dimker(T)+dimIm(T)=dimR^3=3 Longrightarrow 0+dimIm(T)=3 ;Longrightarrow; dimIm(T)=3
Como Im(T) é subespaço de R^3 de dimensão 3, temos Im(T)=R^3.

Resposta

ker(T)=(0,0,0)
Im(T)=R^3

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