Determine o núcleo e imagem da transformação linear
dada por
.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
Queremos encontrar o núcleo
e a imagem
. Para isso, vamos (i) resolver o sistema
e (ii) usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Para achar
, impomos
ou seja o sistema
Passo 3
Da segunda equação vem
,y = -2z . Substituindo na primeira,
Agora a terceira equação fica
Então
z=0 ,
y=-2cdot0=0 e
x=tfrac32cdot0=0 .
Passo 4
Concluímos que a única solução é
(x,y,z)=(0,0,0) . Logo
isto é,
dimker(T)=0 .
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão (nullity–rank),
Como
Im(T) é subespaço de
R^3 de dimensão
3 , temos
Im(T)=R^3 .