Sobre o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y x^{2}}{x^{4}+y^{2}}, podemos afirmar que:
(A) Como o resultado é diferente através dos caminhos y=0 e y=x^{2}, o limite não existe.
(B) Existe e é igual a 0.
(C) Existe e é igual a \frac{1}{2}.
(D) Como o resultado é diferente através dos caminhos y=0 e x=0, o limite não existe.
(E) Como o resultado é diferente através dos caminhos y=0 e y=x, o limite não existe.
(F) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=\frac{y\,x^{2}}{x^{4}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e a ideia é usar o método de comparação por caminhos: se ao seguir dois trajetos distintos até (0,0) o valor do limite for diferente, então o limite não existe.

Passo 2

Analisemos o caminho y=0. Substituindo em f,
f(x,0)=\frac{0\cdot x^{2}}{x^{4}+0^{2}}=0.
Logo,
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=0}f(x,y)=0.

Passo 3

Agora o caminho y=x^{2}. Substituindo,
f\bigl(x,x^{2}\bigr) =\frac{x^{2}\cdot x^{2}}{x^{4}+(x^{2})^{2}} =\frac{x^{4}}{x^{4}+x^{4}} =\frac{x^{4}}{2x^{4}} =\frac12.
Portanto,
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=x^{2}}f(x,y)=\tfrac12.

Passo 4

Como ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de y=x^{2} o limite é \tfrac12, os valores diferem. Logo o limite geral não existe, e a alternativa correta é a (A).

Resposta

(A)

Exercícios relacionados