(Derivada Direcional e Regra da Cadeia) O campo de temperatura em uma região do espaço é dado por T(x, y, z)=100-x^{2}-2 y^{2}-z^{2} (em { }^{\circ} \mathrm{C} ). Uma partícula se move ao longo de uma trajetória helicoidal descrita pelo vetor posição \vec{r}(t)=(\cos (t), \sin (t), t) (em metros), onde t é o tempo em segundos.
a) Calcule a taxa de variação da temperatura que a partícula experimenta em relação ao tempo, \frac{d T}{d t}, no instante t=\frac{\pi}{4}.
b) Existem pontos na trajetória da partícula onde a temperatura não varia instantaneamente? Se sim, determine as coordenadas (x, y, z) desses pontos.

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar de temperatura
T(x,y,z)=100 - x^{2} - 2y^{2} - z^{2}
e a curva helicoidal
\vec r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t).
Queremos (a) a taxa \dfrac{dT}{dt} no instante t=\tfrac{\pi}{4} e (b) os pontos da trajetória onde essa taxa é zero.
Para isso vamos usar a regra da cadeia na forma
\frac{dT}{dt} = \nabla T(\vec r(t)) \cdot \vec r\,'(t).

Passo 2

Calcular o gradiente de T.
Como
T(x,y,z)=100 - x^{2} - 2y^{2} - z^{2},
temos
\nabla T(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial T}{\partial x},\,\frac{\partial T}{\partial y},\,\frac{\partial T}{\partial z}\Bigr) = (-2x,\,-4y,\,-2z).

Passo 3

Calcular a derivada da trajetória \vec r(t).
\vec r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t) \quad\Longrightarrow\quad \vec r\,'(t) = (-\sin t,\;\cos t,\;1).

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dT}{dt} = \nabla T(\vec r(t)) \cdot \vec r\,'(t) = (-2\cos t,\,-4\sin t,\,-2t)\;\cdot\;(-\sin t,\;\cos t,\;1).
Fazendo o produto escalar:
\frac{dT}{dt} = (-2\cos t)(-\sin t) + (-4\sin t)(\cos t) + (-2t)\,(1) = 2\sin t\cos t \;-\;4\sin t\cos t \;-\;2t = -2\bigl(\sin t\cos t + t\bigr).

Passo 5

Avaliar em t=\tfrac{\pi}{4}.
\sin\!\tfrac{\pi}{4}\,\cos\!\tfrac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac12,
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\frac{dT}{dt}\Bigl|_{t=\tfrac{\pi}{4}} = -2\Bigl(\tfrac12 + \tfrac{\pi}{4}\Bigr) = -\bigl(1 + \tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 6

Determinar t tal que \dfrac{dT}{dt}=0.
-2\bigl(\sin t\cos t + t\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin t\cos t + t = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t + \tfrac12\sin(2t)=0.
A função f(t)=t+\tfrac12\sin(2t) é estritamente crescente e f(0)=0, logo a única solução é t=0.

Passo 7

Obter as coordenadas no ponto t=0:
\vec r(0) = (\cos0,\;\sin0,\;0) = (1,\,0,\,0).

Resposta

a) \displaystyle\frac{dT}{dt}\bigl|_{t=\frac{\pi}{4}\bigr} = -\bigl(1 + \tfrac{\pi}{2}\bigr) \circC/s.
b) A temperatura não varia apenas em t=0, que corresponde ao ponto (x,y,z)=(1,0,0).

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