(Derivada Direcional e Regra da Cadeia) O campo de temperatura em uma região do espaço é dado por T(x, y, z)=100-x^{2}-2 y^{2}-z^{2} (em { }^{\circ} \mathrm{C} ). Uma partícula se move ao longo de uma trajetória helicoidal descrita pelo vetor posição \vec{r}(t)=(\cos (t), \sin (t), t) (em metros), onde t é o tempo em segundos.
a) Calcule a taxa de variação da temperatura que a partícula experimenta em relação ao tempo, \frac{d T}{d t}, no instante t=\frac{\pi}{4}.
b) Existem pontos na trajetória da partícula onde a temperatura não varia instantaneamente? Se sim, determine as coordenadas (x, y, z) desses pontos.
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar de temperatura
T(x,y,z)=100 - x^{2} - 2y^{2} - z^{2}
e a curva helicoidal \vec r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t).
Queremos (a) a taxa \dfrac{dT}{dt} no instante t=\tfrac{\pi}{4} e (b) os pontos da trajetória onde essa taxa é zero.
Para isso vamos usar a regra da cadeia na forma
-2\bigl(\sin t\cos t + t\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin t\cos t + t = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t + \tfrac12\sin(2t)=0.
A função f(t)=t+\tfrac12\sin(2t) é estritamente crescente e f(0)=0, logo a única solução é t=0.
Passo 7
Obter as coordenadas no ponto t=0:
\vec r(0) = (\cos0,\;\sin0,\;0) = (1,\,0,\,0).
Resposta
a) \displaystyle\frac{dT}{dt}\bigl|_{t=\frac{\pi}{4}\bigr} = -\bigl(1 + \tfrac{\pi}{2}\bigr) \circC/s.
b) A temperatura não varia apenas em t=0, que corresponde ao ponto (x,y,z)=(1,0,0).