(Teorema das Funções Implícitas) A interseção de duas superfícies, uma esfera e um paraboloide, define uma curva no espaço \mathbb{R}^{3}. As equações das superfícies são:
F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-6=0 \quad \text { e } \quad G(x, y, z)=x^{2}-y^{2}+z-2=0
O ponto P(1,1,2) pertence a esta curva de interseção. Pelo Teorema da Função Implícita, é possível descrever esta curva parametricamente em função de x nas vizinhanças de P. Determine o vetor diretor da reta tangente a esta curva no ponto P.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva de interseção de duas superfícies em \mathbb{R}^3 definidas por
e pede o vetor diretor da reta tangente a essa curva no ponto P(1,1,2).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Função Implícita: como podemos resolver \{F=0,\;G=0\} localmente por
y=y(x),\quad z=z(x),
vamos diferenciar as duas igualdades em relação a x e obter \bigl(x,y(x),z(x)\bigr)', que é o vetor tangente.
Passo 2
Verificamos a condição de aplicação do Teorema da Função Implícita, isto é, o jacobiano de (F,G) em relação a (y,z) deve ser não-nulo em P.
Os parciais são