(Teorema das Funções Implícitas) A interseção de duas superfícies, uma esfera e um paraboloide, define uma curva no espaço \mathbb{R}^{3}. As equações das superfícies são:
F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-6=0 \quad \text { e } \quad G(x, y, z)=x^{2}-y^{2}+z-2=0
O ponto P(1,1,2) pertence a esta curva de interseção. Pelo Teorema da Função Implícita, é possível descrever esta curva parametricamente em função de x nas vizinhanças de P. Determine o vetor diretor da reta tangente a esta curva no ponto P.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva de interseção de duas superfícies em \mathbb{R}^3 definidas por
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-6=0, \quad G(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z-2=0,
e pede o vetor diretor da reta tangente a essa curva no ponto P(1,1,2).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Função Implícita: como podemos resolver \{F=0,\;G=0\} localmente por
y=y(x),\quad z=z(x),
vamos diferenciar as duas igualdades em relação a x e obter \bigl(x,y(x),z(x)\bigr)', que é o vetor tangente.

Passo 2

Verificamos a condição de aplicação do Teorema da Função Implícita, isto é, o jacobiano de (F,G) em relação a (y,z) deve ser não-nulo em P.
Os parciais são
F_{y}=2y,\quad F_{z}=2z,\quad G_{y}=-2y,\quad G_{z}=1.
Em P(1,1,2) isto dá a matriz
\begin{pmatrix} F_{y} & F_{z}\\[6pt] G_{y} & G_{z} \end{pmatrix}_{P} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2\\[4pt] -2\cdot1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4\\[4pt] -2 & 1 \end{pmatrix},
cujo determinante é
\det = 2\cdot1 -(-2)\cdot4 =2+8 =10 \neq 0.
Logo podemos aplicar o Teorema e expressar y e z como funções de x perto de x=1.]

Passo 3

Diferenciamos as identidades
F\bigl(x,y(x),z(x)\bigr)=0,\quad G\bigl(x,y(x),z(x)\bigr)=0
em relação a x. Usando a regra da cadeia, obtemos:
F_{x} + F_{y}\,y' + F_{z}\,z' = 0, \quad G_{x} + G_{y}\,y' + G_{z}\,z' = 0.
Em P temos:
F_{x}=2x\big|_{P}=2,\; F_{y}=2,\; F_{z}=4, \quad G_{x}=2x\big|_{P}=2,\; G_{y}=-2,\; G_{z}=1.
Portanto o sistema para y'=y'(1) e z'=z'(1) é
\begin{cases} 2 + 2\,y' + 4\,z' = 0,\\\\ 2 - 2\,y' + 1\,z' = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo
da segunda equação vem z' = 2\,y' - 2. Substituindo na primeira:
2 + 2y' + 4(2y'-2) = 0 \;\Longrightarrow\; 2 +2y' +8y' -8 =0 \;\Longrightarrow\; 10y' -6 =0 \;\Longrightarrow\; y' = \tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5}.
Logo
z' = 2\cdot\tfrac{3}{5} - 2 = \tfrac{6}{5} - \tfrac{10}{5} = -\tfrac{4}{5}.

Passo 5

Como a parametrização local é
\mathbf{r}(x) = \bigl(x,\,y(x),\,z(x)\bigr),
o vetor tangente em x=1 é
\mathbf{r}'(1) = \bigl(1,\,y'(1),\,z'(1)\bigr) = \Bigl(1,\,\tfrac{3}{5},\,-\tfrac{4}{5}\Bigr).
Multiplicando por 5 para eliminar frações, obtemos um vetor diretor equivalente
\,(5,\,3,\,-4).

Resposta

\displaystyle (5,\,3,\,-4)

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