(Máximos e Mínimos sem Restrição) Utilizando técnicas de otimização para funções de múltiplas variáveis, determine a menor distância entre o ponto P_{0}(1,0,-2) e o plano \Pi dado pela equação x+2 y+z=4. Encontre também as coordenadas do ponto no plano \Pi que realiza essa distância mínima.
Passo 1
O enunciado pede a menor distância entre o ponto P_{0}(1,0,-2) e o plano \Pi\colon x+2y+z=4, bem como as coordenadas do ponto Q em \Pi que atinge essa distância mínima. O conteúdo aqui é otimização de funções de várias variáveis com restrição usando multiplicadores de Lagrange. Vamos minimizar a distância ao quadrado para evitar a raiz no processo.
Passo 2
Definimos a função objetivo como o quadrado da distância de um ponto genérico (x,y,z) em \Pi até P_{0}: