(Máximos e Mínimos sem Restrição) Utilizando técnicas de otimização para funções de múltiplas variáveis, determine a menor distância entre o ponto P_{0}(1,0,-2) e o plano \Pi dado pela equação x+2 y+z=4. Encontre também as coordenadas do ponto no plano \Pi que realiza essa distância mínima.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância entre o ponto P_{0}(1,0,-2) e o plano \Pi\colon x+2y+z=4, bem como as coordenadas do ponto Q em \Pi que atinge essa distância mínima. O conteúdo aqui é otimização de funções de várias variáveis com restrição usando multiplicadores de Lagrange. Vamos minimizar a distância ao quadrado para evitar a raiz no processo.

Passo 2

Definimos a função objetivo como o quadrado da distância de um ponto genérico (x,y,z) em \Pi até P_{0}:
f(x,y,z) = (x-1)^{2} + y^{2} + (z+2)^{2}.
A restrição do plano é
g(x,y,z) = x + 2y + z - 4 = 0.
Pelo método de Lagrange, consideramos
\nabla f = \lambda\,\nabla g,
isto é,
\begin{cases} 2(x-1) = \lambda\cdot 1,\\\\ 2y = \lambda\cdot 2,\\\\ 2(z+2) = \lambda\cdot 1,\\\ x + 2y + z = 4. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações temos
x - 1 = \tfrac{\lambda}{2},\qquad y = \lambda,
da terceira,
z + 2 = \tfrac{\lambda}{2}\quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{\lambda}{2} - 2.
Substituindo em x+2y+z=4:
\Bigl(1 + \tfrac{\lambda}{2}\Bigr) + 2(\lambda) + \Bigl(\tfrac{\lambda}{2} - 2\Bigr) = 4 \;\Longrightarrow\; -1 + 3\lambda = 4 \;\Longrightarrow\; \lambda = \tfrac{5}{3}.
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x = 1 + \tfrac{1}{2}\,\tfrac{5}{3} = \tfrac{11}{6},\quad y = \tfrac{5}{3},\quad z = \tfrac{1}{2}\,\tfrac{5}{3} - 2 = -\tfrac{7}{6}.
O ponto que realiza a distância mínima é
Q\bigl(\tfrac{11}{6},\,\tfrac{5}{3},\,-\tfrac{7}{6}\bigr).

Passo 4

Calculamos a menor distância como
d = \sqrt{(x-1)^{2} + y^{2} + (z+2)^{2}} = \sqrt{\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{2}} = \sqrt{\frac{25+100+25}{36}} = \sqrt{\frac{150}{36}} = \frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{6}.

Resposta

A menor distância é \tfrac{5\sqrt{6}}{6} e ocorre no ponto
Q\Bigl(\tfrac{11}{6},\,\tfrac{5}{3},\,-\tfrac{7}{6}\Bigr).

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