Questão 4. (35 pontos) Para cada valor do parâmetro a \in \mathbb{R}, encontre todos os equilibrios do seguinte sistema. Encontre o único valor de a tal que o sistema seja conservativo (Hamiltoniano) e, nesse caso, determine a estabilidade dos equilibrios.
x^{\prime}=(x+a)(2 y-x), \quad y^{\prime}=(4-y)(y-2 x)
Resp: H(x, y)=x y(y-x-4)+4\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • O sistema dado é
x^{\prime}=(x+a)(2 y-x),\qquad y^{\prime}=(4-y)(y-2 x),
com parâmetro a\in\mathbb{R}.
  • Pedidos:
    1. Para cada valor de a, encontrar todos os pontos de equilíbrio (soluções de x'=0 e y'=0).
    2. Encontrar o único valor de a para o qual o sistema é conservativo (Hamiltoniano).
    3. No caso Hamiltoniano, determinar a estabilidade dos equilíbrios.
  • Informações úteis que vou usar:
    • Equilíbrios são os pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente x'=0 e y'=0.
    • Para um sistema planar Hamiltoniano escrito como x'=\frac{\partial H}{\partial y},\qquad y'=-\frac{\partial H}{\partial x},tem-se sempre \dfrac{\partial x'}{\partial x}+\dfrac{\partial y'}{\partial y}=0 (divergência nula). Vou usar isso para achar o a candidato e depois construir H.
    • Para classificação linear de equilíbrios: considerando a matriz Jacobiana J no ponto de equilíbrio, o traço \operatorname{tr}J e o determinante \det J dão:
      • se \operatorname{tr}J=0 (como acontece em sistemas Hamiltonianos) e \det J>0 então autovalores puros imaginários (centro linear);
      • se \det J<0 então um autovalor positivo e outro negativo (sela, instável);
      • se \det J=0 caso degenerado (exige análise não-linear).

Passo 2

Encontrar todos os equilíbrios resolvendo as equações fatoradas.
Escrevo as equações de equilíbrio separando os fatores:
x'=(x+a)(2y-x)=0,\qquad y'=(4-y)(y-2x)=0.
Logo cada uma das duas igualdades dá duas possibilidades:
  • De x'=0 temos
    • x+a=0 i.e. x=-a, ou
    • 2y-x=0 i.e. y=\dfrac{x}{2}.
  • De y'=0 temos
    • 4-y=0 i.e. y=4, ou
    • y-2x=0 i.e. y=2x.
Agora combino as possibilidades duas a duas para obter os pontos que satisfazem ambas as equações.

Passo 3

Combinações dos casos e pontos obtidos.
  • Se x=-a e y=4 então há o equilíbrio \bigl(-a,\,4\bigr).
  • Se x=-a e y=2x então y=2(-a)=-2a, equilíbrio \bigl(-a,\,-2a\bigr).
  • Se y=\dfrac{x}{2} e y=4 então \dfrac{x}{2}=4 e x=8, equilíbrio (8,\,4).
  • Se y=\dfrac{x}{2} e y=2x então \dfrac{x}{2}=2x x=0, e assim y=0, equilíbrio (0,0).
Portanto, para um a genérico os equilíbrios são
(0,0),\qquad (8,4),\qquad \bigl(-a,\,4\bigr),\qquad \bigl(-a,\,-2a\bigr).
Observação sobre coincidências: se a=0 então (-a,-2a)=(0,0) coincide com o primeiro; se a=-8 então (-a,4)=(8,4). Em geral, para a arbitrário são esses quatro pontos possivelmente com coincidências nesses valores especiais.

Passo 4

Achar o valor de a que torna o sistema Hamiltoniano usando a condição da divergência nula.
Calculo as derivadas parciais necessárias para a divergência:
\frac{\partial x'}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl((x+a)(2y-x)\bigr)=2y-2x-a,
\frac{\partial y'}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((4-y)(y-2x)\bigr)=2x+4-2y.
Somando,
\frac{\partial x'}{\partial x}+\frac{\partial y'}{\partial y}=(2y-2x-a)+(2x+4-2y)=4-a.
Para ser Hamiltoniano devemos ter divergência zero, portanto
4-a=0\quad\Rightarrow\quad a=4.
Concluímos que o único valor de a que pode tornar o sistema Hamiltoniano é a=4.

Passo 5

Construir explicitamente a função Hamiltoniana H(x,y) para a=4 e verificar consistência.
Para a=4 o campo é
x'=(x+4)(2y-x),\qquad y'=(4-y)(y-2x).
Se o sistema é Hamiltoniano com a convenção x'=\dfrac{\partial H}{\partial y}, y'=-\dfrac{\partial H}{\partial x}, então devemos ter
\frac{\partial H}{\partial y}=(x+4)(2y-x).
Integro essa expressão em relação a y (tratando x como constante):
H(x,y)=\int (x+4)(2y-x)\,dy=(x+4)\bigl(y^2-xy\bigr)+h(x),
onde h(x) é uma função de x a determinar. Expando:
H(x,y)=x y^2-x^2 y+4y^2-4xy+h(x).
Agora calculo -\dfrac{\partial H}{\partial x} e exijo que seja igual ao y' dado:
\frac{\partial H}{\partial x}=y^2-2xy-4y+h'(x),
-\frac{\partial H}{\partial x}=-y^2+2xy+4y-h'(x).
Comparando com y'=(4-y)(y-2x)=-y^2+2xy+4y-8x, obtemos a condição
- y^2+2xy+4y-h'(x)=-y^2+2xy+4y-8x,
de onde h'(x)=8x. Integro h'(x) para obter h(x)=4x^2+C (constante irrelevante). Assim uma escolha de Hamiltoniana é
H(x,y)=x y^2-x^2 y+4y^2-4xy+4x^2 + C.
Reagrupando os termos,
H(x,y)=x y\bigl(y-x-4\bigr)+4\bigl(x^2+y^2\bigr)+C.
Podemos desprezar a constante C. Isso coincide com a resposta fornecida:
H(x,y)=x y(y-x-4)+4\bigl(x^2+y^2\bigr).
Verifiquei também que \dfrac{\partial H}{\partial y}=x' e -\dfrac{\partial H}{\partial x}=y' para a=4, logo é de fato Hamiltoniano.

Passo 6

Classificação da estabilidade dos equilíbrios no caso Hamiltoniano a=4: cálculo do Jacobiano e uso de traço e determinante.
A matriz Jacobiana geral é
J(x,y)=\begin{pmatrix} \partial_x x' & \partial_y x'\\[4pt] \partial_x y' & \partial_y y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y-2x-4 & 2(x+4)\\[4pt] -8+2y & 2x+4-2y \end{pmatrix},
onde usei a=4. Note que \operatorname{tr}J=(2y-2x-4)+(2x+4-2y)=0, como esperado para um Hamiltoniano.
A classificação linear em cada equilíbrio reduz-se a verificar o sinal de \det J: se \det J>0 então centro linear (autovalores puros imaginários), se \det J<0 então sela (instável).
Vou avaliar J ponto a ponto (os equilíbrios para a=4 são obtidos substituindo a=4 nas fórmulas do Passo 3):
(0,0),\qquad (8,4),\qquad (-4,4),\qquad (-4,-8).
Cálculos (faço as contas passo a passo):
  • Em (0,0): J(0,0)=\begin{pmatrix}-4 & 8\\\\ -8 & 4\end{pmatrix}.
\det J(0,0)=(-4)\cdot 4 - 8\cdot(-8) = -16 +64 = 48>0.
Como \operatorname{tr}J=0 e \det J>0, os autovalores são puramente imaginários: linearmente é um centro. Além disso, usando a Hamiltoniana, o Hessiano de H em (0,0) é
\mathrm{Hess}\,H(0,0)=\begin{pmatrix}8 & -4\\\\ -4 & 8\end{pmatrix},
cuja determinante é 48>0 e elemento (1,1)=8>0, logo é definido positivo — (0,0) é um mínimo não-degenerado de H. Consequência: (0,0) é um centro não-degenerado; é estável no sentido de Lyapunov (trajectórias próximas ficam em torno em níveis de H), mas não é assintoticamente estável (sistemas hamiltonianos não têm atratores).
  • Em (8,4): J(8,4)=\begin{pmatrix}-12 & 24\\\\ 0 & 12\end{pmatrix}.
\det J(8,4)=(-12)\cdot 12 - 24\cdot 0 = -144<0.
Determinante negativa \Rightarrow sela: ponto instável (saddle).
  • Em (-4,4): J(-4,4)=\begin{pmatrix}12 & 0\\\\ 0 & -12\end{pmatrix},
\det J(-4,4)=12\cdot(-12)=-144<0.
Novamente sela (instável).
  • Em (-4,-8): J(-4,-8)=\begin{pmatrix}-12 & 0\\\\ -24 & 12\end{pmatrix},
\det J(-4,-8)=(-12)\cdot 12 - 0\cdot(-24)=-144<0.
Também sela (instável).
Resumo: em a=4 há um centro em (0,0) (estável, não assintoticamente) e os outros três pontos são sela (instáveis).]

Resposta

Os equilíbrios para qualquer a são
(0,0),\qquad (8,4),\qquad \bigl(-a,\,4\bigr),\qquad \bigl(-a,\,-2a\bigr).
O único valor de a para o qual o sistema é Hamiltoniano é
a=4,
com Hamiltoniana (à constante aditiva)
H(x,y)=x y(y-x-4)+4\bigl(x^2+y^2\bigr).
Para a=4 os equilíbrios e suas estabilidades são:
(0,0)\ \text{centro (estável no sentido de Lyapunov, não assintoticamente)},\\ (8,4)\ \text{sela (instável)},\\ (-4,4)\ \text{sela (instável)},\\ (-4,-8)\ \text{sela (instável)}.áãááá

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