Questão 4. (35 pontos) Para cada valor do parâmetro a \in \mathbb{R}, encontre todos os equilibrios do seguinte sistema. Encontre o único valor de a tal que o sistema seja conservativo (Hamiltoniano) e, nesse caso, determine a estabilidade dos equilibrios.
Para cada valor de a, encontrar todos os pontos de equilíbrio (soluções de x'=0 e y'=0).
Encontrar o único valor de a para o qual o sistema é conservativo (Hamiltoniano).
No caso Hamiltoniano, determinar a estabilidade dos equilíbrios.
Informações úteis que vou usar:
Equilíbrios são os pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente x'=0 e y'=0.
Para um sistema planar Hamiltoniano escrito comox'=\frac{\partial H}{\partial y},\qquad y'=-\frac{\partial H}{\partial x},tem-se sempre \dfrac{\partial x'}{\partial x}+\dfrac{\partial y'}{\partial y}=0 (divergência nula). Vou usar isso para achar o a candidato e depois construir H.
Para classificação linear de equilíbrios: considerando a matriz Jacobiana J no ponto de equilíbrio, o traço \operatorname{tr}J e o determinante \det J dão:
se \operatorname{tr}J=0 (como acontece em sistemas Hamiltonianos) e \det J>0 então autovalores puros imaginários (centro linear);
se \det J<0 então um autovalor positivo e outro negativo (sela, instável);
se \det J=0 caso degenerado (exige análise não-linear).
Passo 2
Encontrar todos os equilíbrios resolvendo as equações fatoradas.
Escrevo as equações de equilíbrio separando os fatores:
x'=(x+a)(2y-x)=0,\qquad y'=(4-y)(y-2x)=0.
Logo cada uma das duas igualdades dá duas possibilidades:
De x'=0 temos
x+a=0 i.e. x=-a, ou
2y-x=0 i.e. y=\dfrac{x}{2}.
De y'=0 temos
4-y=0 i.e. y=4, ou
y-2x=0 i.e. y=2x.
Agora combino as possibilidades duas a duas para obter os pontos que satisfazem ambas as equações.
Passo 3
Combinações dos casos e pontos obtidos.
Se x=-a e y=4 então há o equilíbrio \bigl(-a,\,4\bigr).
Se x=-a e y=2x então y=2(-a)=-2a, equilíbrio \bigl(-a,\,-2a\bigr).
Se y=\dfrac{x}{2} e y=4 então \dfrac{x}{2}=4 e x=8, equilíbrio (8,\,4).
Se y=\dfrac{x}{2} e y=2x então \dfrac{x}{2}=2x dá x=0, e assim y=0, equilíbrio (0,0).
Observação sobre coincidências: se a=0 então (-a,-2a)=(0,0) coincide com o primeiro; se a=-8 então (-a,4)=(8,4). Em geral, para a arbitrário são esses quatro pontos possivelmente com coincidências nesses valores especiais.
Passo 4
Achar o valor de a que torna o sistema Hamiltoniano usando a condição da divergência nula.
Calculo as derivadas parciais necessárias para a divergência:
onde usei a=4. Note que \operatorname{tr}J=(2y-2x-4)+(2x+4-2y)=0, como esperado para um Hamiltoniano.
A classificação linear em cada equilíbrio reduz-se a verificar o sinal de \det J: se \det J>0 então centro linear (autovalores puros imaginários), se \det J<0 então sela (instável).
Vou avaliar J ponto a ponto (os equilíbrios para a=4 são obtidos substituindo a=4 nas fórmulas do Passo 3):
(0,0),\qquad (8,4),\qquad (-4,4),\qquad (-4,-8).
Cálculos (faço as contas passo a passo):
Em (0,0):J(0,0)=\begin{pmatrix}-4 & 8\\\\ -8 & 4\end{pmatrix}.
Como \operatorname{tr}J=0 e \det J>0, os autovalores são puramente imaginários: linearmente é um centro. Além disso, usando a Hamiltoniana, o Hessiano de H em (0,0) é
cuja determinante é 48>0 e elemento (1,1)=8>0, logo é definido positivo — (0,0) é um mínimo não-degenerado de H. Consequência: (0,0) é um centro não-degenerado; é estável no sentido de Lyapunov (trajectórias próximas ficam em torno em níveis de H), mas não é assintoticamente estável (sistemas hamiltonianos não têm atratores).
Em (8,4):J(8,4)=\begin{pmatrix}-12 & 24\\\\ 0 & 12\end{pmatrix}.
\det J(8,4)=(-12)\cdot 12 - 24\cdot 0 = -144<0.
Determinante negativa \Rightarrow sela: ponto instável (saddle).
Em (-4,4):J(-4,4)=\begin{pmatrix}12 & 0\\\\ 0 & -12\end{pmatrix},
\det J(-4,4)=12\cdot(-12)=-144<0.
Novamente sela (instável).
Em (-4,-8):J(-4,-8)=\begin{pmatrix}-12 & 0\\\\ -24 & 12\end{pmatrix},
\det J(-4,-8)=(-12)\cdot 12 - 0\cdot(-24)=-144<0.
Também sela (instável).
Resumo: em a=4 há um centro em (0,0) (estável, não assintoticamente) e os outros três pontos são sela (instáveis).]