A derivada a esquerda e a direita de f em a são definidas por:
f+^prime(a) & =lim h 0^+ f(a+h)-f(a)h f-^prime(a) & =lim h 0^- f(a+h)-f(a)h
Se esses limites existirem. Então f^prime(a) existe se e somente se essas derivadas forem iguais.
Dado: f(x)=l0 se x <= 0 5-x se 0<x<4 15-x se x >= 4
a) Encontre f+^prime (4) e f-^prime (4).
b) Esboce o gráfico de f.
c) Onde f é descontínua?
d) Onde f não é diferenciável?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 0, & x<= 0, 5 - x, & 0 < x < 4, dfrac15 - x, & x>= 4,
e pede:
a) as derivadas laterais de f em a=4;
b) um esboço do gráfico de f;
c) onde f é descontínua;
d) onde f não é diferenciável.
Vamos usar definição de derivada lateral, noções de continuidade em pontos de “quebra” e observações sobre partes constantes, lineares e hiperbólicas.

Passo 2

Cálculo de f-'(4). Para hto0^- temos 4+h<4, logo usam-se valores de f(x)=5-x. Assim
f(4+h)-f(4)h =l(5-(4+h)r)-f(4)h =1-h - f(4)h
Como f(4)=tfrac15-4=1, isso vira
1-h-1h =-hh =-1
Portanto
f-'(4)=-1
Cálculo de f+'(4). Para hto0^+ temos 4+h>4, usamos f(x)=15-x. Logo
f(4+h)-f(4)h =15-(4+h) - 1h =11-h-1h =1-(1-h)1-hh =h1-hh =11-h
e, ao tomar hto0^+, resulta
f+'(4)=1

Passo 3

Esboço do gráfico de f:
  • Para x<=0, f(x)=0 é o eixo x.
  • Imediatamente à direita de 0, para 0<x<4, f(x)=5-x é uma reta decrescente que parte de (0,5) até (4,1).
  • Em x=4, f(4)=1 liga-se sem “salto” à curva de y=1/(5-x).
  • Para x>4, y=1/(5-x) tem assimptota vertical em x=5, cresce de 1 até +infty quando xto5^-, e é negativa para x>5.

Passo 4

Pontos de descontinuidade de f:
  • Em x=0, limxto0^-f(x)=0 e limxto0^+f(x)=5neq0=f(0), logo há salto em 0.
  • Em x=5, f(5)=1/(5-5) não existe (assíntota), logo há descontinuidade em 5.
    Em todo outro ponto as expressões são contínuas.

Passo 5

Pontos de não diferenciabilidade:
  • Em x=0 f já é descontínua, então não é diferenciável.
  • Em x=4 há derivadas laterais distintas ( -1 e 1), não existe f'(4).
  • Em x=5 f não está definida, logo não há derivada.
    Em cada intervalo interno (-infty,0), (0,4), (4,5) e (5,+infty) as expressões são diferenciáveis.

Resposta

a) f-'(4)=-1 e f+'(4)=1.
b) Gráfico: constante 0 em (-infty,0]; reta decrescente de (0,5) a (4,1); ramo de hipérbole 1/(5-x) em [4,+infty) com assíntota vertical em x=5.
c) f é descontínua em x=0 e em x=5.
d) f não é diferenciável em x=0, x=4 e x=5.

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