Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
(e) integral duplaR e^x^2 d A, onde R é a região delimitada pelas curvas x-3 y=0, y=0 e x=3.

Passo 1

Enunciado resumo: calcular integral duplaR e^x^2,dA onde R é o triângulo delimitado pelas retas y=0, y=tfracx3 e x=3. Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada e depois usar substituição para calcular.

Passo 2

Desenho da região e limites: a reta y=0 é o eixo x, a reta y=tfracx3 passa pela origem com inclinação 1/3 e a reta vertical x=3 fecha o triângulo com vértices em (0,0), (3,0) e (3,1). Logo, os limites são 0 <= x <= 3 e para cada x, 0 <= y <= tfracx3.

Passo 3

Montagem da integral iterada usando Fubini:
integral duplaR e^x^2,dA = integralx=0^3integraly=0^x/3 e^x^2,dy,dx

Passo 4

Como e^x^2 independe de y, integramos primeiro em y:
integraly=0^x/3 e^x^2,dy = e^x^2l[yr]0^x/3 = x3e^x^2
Então a integral vira
integral0^3 x3e^x^2,dx = 13integral0^3 x e^x^2,dx

Passo 5

Integração em x por substituição: fazemos u = x^2 e du = 2x,dx. Assim,
13integral0^3 x e^x^2,dx = 13cdot12integralu=0^9 e^u,du = 16[e^u]0^9 = e^9 - 16

Resposta

e^9 - 16

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