Derivada da função cotangente:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
, onde é uma função diferenciável de . - Pedido: calcular a derivada
, ou seja, a taxa de variação de em relação a .
Passo 2
Identidade trigonométrica útil (que vou usar para derivar):
Também lembro que
é o recíproco do seno:
Vou transformar
em razão
para aplicar regras de derivação que você provavelmente já conhece.
Passo 3
Regra da diferenciação que usarei:
- Regra do quociente: se
então
- Regra da cadeia (para derivar
e ): se então
Vou aplicar essas duas regras de forma combinada.
Passo 4
Defino
e
.
Calculo e
usando a regra da cadeia:
Calculo
- Derivada de
em relação a é . Então
- Derivada de
em relação a é . Então
Passo 5
Agora aplico a regra do quociente em
:
Substituindo
obtidos:
Passo 6
Simplifico o numerador fatorando
:
Coloco
em evidência:
Passo 7
Uso a identidade trigonométrica fundamental
com
:
Passo 8
Reconheço
. Portanto:
Essa é a forma mais usual e compacta da derivada de
.
Passo 9
Comentário prático (para guardar na prova): você pode decorar a derivada da função básica
,
e então aplicar a regra da cadeia para composições:
.
Passo 10
Exemplo rápido para fixar: se
então
e