Derivada da função cotangente:
f(x)=\cot (u)
f^{\prime}(x)=-\csc ^{2}(u) \cdot u^{\prime}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: f(x)=\cot\bigl(u(x)\bigr), onde u é uma função diferenciável de x.
  • Pedido: calcular a derivada f'(x), ou seja, a taxa de variação de \cot(u(x)) em relação a x.

Passo 2

Identidade trigonométrica útil (que vou usar para derivar):
\cot\bigl(u(x)\bigr)=\frac{\cos\bigl(u(x)\bigr)}{\sin\bigl(u(x)\bigr)}.
Também lembro que \csc é o recíproco do seno:
\csc\bigl(u(x)\bigr)=\frac{1}{\sin\bigl(u(x)\bigr)}.
Vou transformar \cot em razão \cos/\sin para aplicar regras de derivação que você provavelmente já conhece.

Passo 3

Regra da diferenciação que usarei:
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} então
g'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{w(x)^2}.
  • Regra da cadeia (para derivar v(x)=\cos(u(x)) e w(x)=\sin(u(x))): se h(x)=\varphi\bigl(u(x)\bigr) então
h'(x)=\varphi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Vou aplicar essas duas regras de forma combinada.

Passo 4

Defino v(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr) e w(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr).
Calculo v'(x) e w'(x) usando a regra da cadeia:
  • Derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t). Então
v'(x)=\frac{d}{dx}\cos\bigl(u(x)\bigr)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
  • Derivada de \sin(t) em relação a t é \cos(t). Então
w'(x)=\frac{d}{dx}\sin\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 5

Agora aplico a regra do quociente em f(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)}:
f'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{w(x)^2}.
Substituindo v,v',w,w' obtidos:
f'(x)=\frac{\bigl(-\sin(u(x))\cdot u'(x)\bigr)\sin(u(x))-\cos(u(x))\bigl(\cos(u(x))\cdot u'(x)\bigr)}{\sin^2(u(x))}.

Passo 6

Simplifico o numerador fatorando u'(x):
f'(x)=\frac{-\sin^2(u(x))\;u'(x)-\cos^2(u(x))\;u'(x)}{\sin^2(u(x))}.
Coloco u'(x) em evidência:
f'(x)=u'(x)\cdot\frac{-\bigl(\sin^2(u(x))+\cos^2(u(x))\bigr)}{\sin^2(u(x))}.

Passo 7

Uso a identidade trigonométrica fundamental \sin^2(t)+\cos^2(t)=1 com t=u(x):
f'(x)=u'(x)\cdot\frac{-1}{\sin^2(u(x))}=-\frac{u'(x)}{\sin^2(u(x))}.

Passo 8

Reconheço \dfrac{1}{\sin^2(u(x))}=\csc^2\bigl(u(x)\bigr). Portanto:
f'(x)=-\csc^2\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Essa é a forma mais usual e compacta da derivada de \cot(u(x)).

Passo 9

Comentário prático (para guardar na prova): você pode decorar a derivada da função básica \cot t,
\frac{d}{dt}\cot t=-\csc^2 t,
e então aplicar a regra da cadeia para composições: \dfrac{d}{dx}\cot\bigl(u(x)\bigr)=(\dfrac{d}{dt}\cot t|_{t=u(x)})\cdot u'(x)=-\csc^2\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 10

Exemplo rápido para fixar: se u(x)=3x^2 então u'(x)=6x e
\frac{d}{dx}\cot\bigl(3x^2\bigr)=-\csc^2\bigl(3x^2\bigr)\cdot 6x.

Resposta

-\csc^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)

Exercícios relacionados