Q6.

A derivada da função y=\left(\cos \left(e^{x}\right)+x\right)^{2} é:
(a) 2\left(\cos \left(e^{x}\right)+x\right)\left(-\sin \left(e^{x}\right) \cdot e^{x}+1\right)
(b) -\sin \left(e^{x}\right)+1
(c) 2\left(-\sin \left(e^{x}\right)+1\right)
(d) 2\left(-\sin \left(e^{x}\right)+1\right)\left(-\cos \left(e^{x}\right)+0\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(\cos(e^x) + x\bigr)^2
Este é um caso de aplicação da regra da cadeia, pois temos uma função ao quadrado composta por outra função.

Passo 2

Definimos
u(x) = \cos(e^x) + x
e, portanto,
y = [u(x)]^2.
Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = 2\,u(x)\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora calculamos \frac{du}{dx}. Como
u(x) = \cos(e^x) + x,
temos
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(e^x)\bigr] = -\sin(e^x)\,\frac{d}{dx}(e^x) = -\sin(e^x)\,e^x
e
\frac{d}{dx}(x) = 1.
Logo,
\frac{du}{dx} = -\sin(e^x)\,e^x + 1.

Passo 4

Substituindo em \frac{dy}{dx} = 2\,u(x)\,\frac{du}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = 2\bigl(\cos(e^x)+x\bigr)\bigl(-\sin(e^x)\,e^x + 1\bigr).

Resposta

(a) 2\bigl(\cos(e^x)+x\bigr)\bigl(-\sin(e^x)\cdot e^x+1\bigr)

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