Determine as assíntotas horizontais e verticais da seguintes funções:
f(x)=x+\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=x+\frac{1}{x^{2}}.
Isso envolve estudar os limites de f(x) quando x se aproxima de valores que tornam o denominador zero (possíveis assíntotas verticais) e quando x tende a \pm\infty (assíntotas horizontais).

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f:
\mathrm{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
O único ponto excluído é x=0, então investigamos
\lim_{x\to0^+}f(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to0^-}f(x).
Como \lim_{x\to0}x=0 e \lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty, obtemos em ambos os lados
\lim_{x\to0^\pm}f(x)=0+\infty=+\infty.
Logo, x=0 é assíntota vertical.

Passo 3

Agora vamos aos limites em infinito para ver se há assíntotas horizontais:
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\Bigl(x+\frac{1}{x^{2}}\Bigr) =+\infty,
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}\Bigl(x+\frac{1}{x^{2}}\Bigr) =-\infty.
Como nenhum desses limites é finito, não existem assíntotas horizontais.

Resposta

Assíntota vertical: x=0.
Assíntotas horizontais: nenhuma.

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