Q5. Qual o valor da constante c\) que torna a seguinte função contínua em \(x=0\) ? \[f(x)= \begin{cases}\frac{1-\cos x}{\sin ^{2} x}, & x \neq 0 \\\ c, & x=0\end{cases} (a) (\frac{1}{2}] (b) 0 (c) 1 (d) 2 Passo 1O enunciado define a função f(x)= \begin{cases}\displaystyle\frac{1-\cos x}{\sin^{2}x},&x\neq0,\\[6pt] c,&x=0,\end{cases} e pede o valor de c que torna f contínua em x=0. O conteúdo envolve continuidade de funções definidas por partes e cálculo de limite quando x\to0.] Passo 2Para f ser contínua em x=0, é preciso que \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin^{2}x} \;=\;f(0) \;=\;c. Ou seja, nosso objetivo é calcular \displaystyle\lim_{x\to0}(1-\cos x)/\sin^{2}x e igualar esse valor a c. Passo 3Usamos a identidade trigonométrica 1-\cos x \;=\;2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) \quad\text{e}\quad \sin x \;=\;2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr). Isso dá \frac{1-\cos x}{\sin^{2}x} =\frac{2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\bigl[2\sin(\tfrac{x}{2})\cos(\tfrac{x}{2})\bigr]^{2}} =\frac{2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{1}{2\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}. Passo 4Agora avaliamos o limite quando x\to0: \lim_{x\to0}\frac{1}{2\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{1}{2\,\cos^{2}(0)} =\frac{1}{2\cdot1} =\frac{1}{2}. Logo, para ser contínua em 0, devemos ter c=\tfrac12. Resposta(a) \tfrac{1}{2} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados Q3. Determine assíntotas horizontais de f(x)=\frac{|x-4|}{3 x-1} ? (a) y=\frac{1}{3}, y=-\frac{1}{3} (b) y=0 (c) x=1, x=-1 (d) y=\frac{1}{3}, x=-\frac{1}{3} Q2. Para quais a \in \mathbb{R} : \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{x}{(x-2)(x+2)}=+\infty ? (a) a=2 e a=-2 (b) apenas a=-2 (c) apenas a=2 (d) nenhum valor de a Q6. A derivada da função y=\left(\cos \left(e^{x}\right)+x\right)^{2} é: (a) 2\left(\cos \left(e^{x}\right)+x\right)\left(-\sin \left(e^{x}\right) \cdot e^{x}+1\right) (b) -\sin \left(e^{x}\right)+1 (c) 2\left(-\sin \left(e^{x}\right)+1\right) (d) 2\left(-\sin \left(e^{x}\right)+1\right)\left(-\cos \left(e^{x}\right)+0\right) Determine as derivadas das seguintes funções: f(x)=\frac{\sqrt[3]{\operatorname{tg}(x)}}{1+\operatorname{sec} (5 x)}