Q5.

Qual o valor da constante c\) que torna a seguinte função contínua em \(x=0\) ? \[f(x)= \begin{cases}\frac{1-\cos x}{\sin ^{2} x}, & x \neq 0 \\\ c, & x=0\end{cases}
(a) (\frac{1}{2}]
(b) 0
(c) 1
(d) 2

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases}\displaystyle\frac{1-\cos x}{\sin^{2}x},&x\neq0,\\[6pt] c,&x=0,\end{cases}
e pede o valor de c que torna f contínua em x=0. O conteúdo envolve continuidade de funções definidas por partes e cálculo de limite quando x\to0.]

Passo 2

Para f ser contínua em x=0, é preciso que
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin^{2}x} \;=\;f(0) \;=\;c.
Ou seja, nosso objetivo é calcular \displaystyle\lim_{x\to0}(1-\cos x)/\sin^{2}x e igualar esse valor a c.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
1-\cos x \;=\;2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) \quad\text{e}\quad \sin x \;=\;2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Isso dá
\frac{1-\cos x}{\sin^{2}x} =\frac{2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\bigl[2\sin(\tfrac{x}{2})\cos(\tfrac{x}{2})\bigr]^{2}} =\frac{2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{1}{2\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{1}{2\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{1}{2\,\cos^{2}(0)} =\frac{1}{2\cdot1} =\frac{1}{2}.
Logo, para ser contínua em 0, devemos ter c=\tfrac12.

Resposta

(a) \tfrac{1}{2}

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