Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente.
Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por:
r(t)=\frac{5865}{1+(0,15) \cdot \cos (0,06 t)}
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular os valores de r , no apogeu e no perigeu. Calcule esses valores.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
r(t)=\frac{5865}{1+(0,15)\cdot\cos\bigl(0,06\,t\bigr)}
que descreve a distância do satélite ao centro da Terra em função do tempo t. Queremos encontrar o apogeu (máximo de r) e o perigeu (mínimo de r). Para isso, vamos usar que \cos(x) varia entre -1 e 1.

Passo 2

Observe que r(t) tem a forma
r(t)=\frac{5865}{D(t)}, \quad D(t)=1+0,15\cos\bigl(0,06\,t\bigr).
Como 5865 é constante e positiva, os extremos de r(t) ocorrem quando D(t) atinge seus extremos. Sabemos que
-1 \le \cos\bigl(0,06\,t\bigr)\le 1,
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D_{\min}=1+0,15\cdot(-1)=0,85, \quad D_{\max}=1+0,15\cdot 1=1,15.

Passo 3

No apogeu, r é máximo, o que ocorre quando D(t) é mínimo, isto é, \cos(0,06\,t)=-1. Então
r_{\max} =\frac{5865}{0,85} =\frac{5865}{85/100} =5865\cdot\frac{100}{85} =6900\\ \text{km}.

Passo 4

No perigeu, r é mínimo, o que ocorre quando D(t) é máximo, isto é, \cos(0,06\,t)=1. Então
r_{\min} =\frac{5865}{1,15} =\frac{5865}{115/100} =5865\cdot\frac{100}{115} =5100\\ \text{km}.

Resposta

Apogeu: 6900 km
Perigeu: 5100 km

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