Durante uma prova de arremesso de peso nas Olimpíadas, a altura (em metros) do peso lançado por um atleta seguiu a função y(x)=-\frac{x^{2}}{10}+x+\frac{11}{10}, em que x representa a distância horizontal percorrida pelo peso.
a) Determine de que altura o peso foi lançado.
b) Determine a altura máxima do peso e a que distância isso ocorreu.
c) Calcule a distância horizontal percorrida pelo peso.

Passo 1

O enunciado dá a altura do peso em função da distância horizontal x pela parábola
y(x) = -\frac{x^{2}}{10} + x + \frac{11}{10}
e pede:
– a altura inicial x=0;
– a altura máxima e onde ela ocorre;
– a distância horizontal total (quando y=0).
Para resolver, vamos usar: avaliação de função em x=0, fórmula do vértice de uma parábola e fórmula de Bhaskara para as raízes.

Passo 2

Para encontrar a altura inicial, basta calcular y(0).
y(0) = -\frac{0^{2}}{10} + 0 + \frac{11}{10} = \frac{11}{10}.

Passo 3

A altura máxima ocorre no vértice da parábola. Numa função y(x)=ax^{2}+bx+c, o vértice está em
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Aqui a=-\tfrac{1}{10} e b=1, logo
x_{v} = -\frac{1}{2\cdot(-\tfrac{1}{10})} = 5.
Agora avaliamos y(5):
y(5) = -\frac{5^{2}}{10} + 5 + \frac{11}{10} = -\frac{25}{10} + 5 + \frac{11}{10} = -2{,}5 + 5 + 1{,}1 = 3{,}6.

Passo 4

A distância horizontal total é a raiz positiva de y(x)=0. Resolvendo
-\frac{x^{2}}{10} + x + \frac{11}{10} = 0
multiplicando tudo por 10:
-x^{2} + 10x + 11 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 10x - 11 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 44}}{2} = \frac{10 \pm 12}{2},
isso dá x = 11 ou x=-1. Descartamos a negativa, então a distância é 11 metros.

Resposta

(a) \tfrac{11}{10} metros.
(b) altura máxima 3{,}6 m, ocorrendo em x=5 m.
(c) distância horizontal total 11 m.

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