Sabendo que a reta 2 y-3 x-3=0 é tangente ao gráfico da função f(x)=\frac{2}{1-3 x} em P=(a, b), podemos afirmar que a pertence ao intervalo:
Escolha uma opção:
a. (1 / 3,5]
b. (5,+\infty)
c. [-1,0)
d. (-\infty,-1)
e. [0,1 / 3)

Passo 1

O enunciado diz que a reta
2y - 3x - 3 = 0
é tangente ao gráfico da função
f(x) = \frac{2}{1 - 3x}
no ponto P = (a,b).
Vamos usar derivada para igualar o coeficiente angular da reta ao de f em x=a e em seguida verificar qual solução satisfaz a condição de tangência.

Passo 2

Escrevemos a reta na forma explícita y = mx + c. Da equação
2y - 3x - 3 = 0
temos
y = \frac{3}{2}\,x + \frac{3}{2},
logo o coeficiente angular é
m = \frac{3}{2}.

Passo 3

Calculamos a derivada de
f(x) = 2(1 - 3x)^{-1}.
Usando regra da cadeia,
f'(x) = 2 \cdot (-1)(1-3x)^{-2} \cdot (-3) = \frac{6}{(1 - 3x)^2}.

Passo 4

Para que a reta seja tangente, igualamos o coeficiente angular da reta ao de f em x=a:
f'(a) = \frac{6}{(1 - 3a)^2} = \frac{3}{2}.
Resolvendo,
\frac{6}{(1 - 3a)^2} = \frac{3}{2} \;\Longrightarrow\; 12 = 3\,(1 - 3a)^2 \;\Longrightarrow\; (1 - 3a)^2 = 4 \;\Longrightarrow\; 1 - 3a = \pm 2.
Isso dá duas soluções:
  1. 1 - 3a = 2 \implies a = -\tfrac{1}{3}.
  2. 1 - 3a = -2 \implies a = 1.

Passo 5

Agora verificamos qual valor de a gera um ponto P=(a,b) que esteja sobre a reta dada:
  • Se a = -\tfrac{1}{3}, então
b = f\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \frac{2}{1 - 3(-\tfrac{1}{3})} = \frac{2}{2} = 1.
O ponto é \bigl(-\tfrac{1}{3},1\bigr).
Substituindo na reta:
y = \frac{3}{2}\,x + \frac{3}{2} \;\Longrightarrow\; 1 = \frac{3}{2}\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) + \frac{3}{2} = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} = 1.
Funciona.
  • Se a = 1, então
b = f(1) = \frac{2}{1 - 3} = -1.
O ponto é (1,-1).
Substituindo na reta:
y = \frac{3}{2}\cdot1 + \frac{3}{2} = 3 \neq -1.
Não satisfaz.
Logo a única abscissa válida é
a = -\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Observe que
-\tfrac{1}{3}
pertence ao intervalo
[-1,0).

Resposta

\text{(c)} a \in [-1,0)

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