Derivada da função logarítmica
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e afirma (ou pede para mostrar) que a derivada é
Informações importantes fornecidas ou necessárias:
-
é a base do logaritmo e satisfaz e .\n -
é uma função diferenciável e assumimos no ponto onde derivamos (porque e não são definidos em para o logaritmo).\n -
representa a derivada de em relação a .\n
O que precisamos: mostrar, passo a passo, por que a derivada deé .
Passo 2
Usamos a identidade que troca logaritmo na base
por logaritmo natural:
Explicação curta:
é o logaritmo natural (base
); para qualquer
vale
. No nosso caso usamos
para permitir
negativo (o logaritmo exige argumento positivo, e
garante positividade). Como
é constante (já que
é constante), temos que
é a constante
multiplicando
:
Passo 3
Aplicamos a regra básica de derivação de um produto por constante: a derivada de
é
quando
é constante. Logo
Agora precisamos achar
. Vamos fazer isso com cuidado, usando a cadeia e a derivada de
.
Passo 4
Seja
. Então
. A derivada de
é
. Portanto
Agora calcule
. Sabemos que para
a derivada de
é
onde
é a função sinal:
se
e
se
. Substituindo em
obtemos
Agora usamos a relação
. Substituindo:
Mas note que
. Assim
válido sempre que
. Então concluímos:
Passo 5
Voltando para
, substituímos o resultado do passo anterior:
e reescrevendo de forma habitual:
Observações importantes para a prova: certifique-se de que
no ponto onde aplica a fórmula; a presença do valor absoluto em
garante que a fórmula funciona para
positivo ou negativo — a simplificação chave vem da identidade
. Em exames, um caminho prático e rápido é sempre: escrever
e aplicar cadeia.
Passo 6
Exemplos rápidos (para treinar e memorizar a técnica):
Exemplo 1: Se
, então
e
Exemplo 2: Se
, então
e
valendo para
tais que
.
Dica de prova: sempre transforme
em
, depois aplique a regra da cadeia; cuidado com o domínio (
) e escreva no papel que usa
quando fizer a conta.