Derivada da função logarítmica
f(x)=\log _{a}|u| \quad f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\log_{a}|u(x)|
e afirma (ou pede para mostrar) que a derivada é
f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)\cdot \ln a}.
Informações importantes fornecidas ou necessárias:
  • a é a base do logaritmo e satisfaz \,a>0 e a\neq1.\n
  • u(x) é uma função diferenciável e assumimos u(x)\neq0 no ponto onde derivamos (porque |u| e u não são definidos em 0 para o logaritmo).\n
  • u^{\prime}(x) representa a derivada de u em relação a x.\n
    O que precisamos: mostrar, passo a passo, por que a derivada de f é \dfrac{u^{\prime}}{u\cdot \ln a}.

Passo 2

Usamos a identidade que troca logaritmo na base a por logaritmo natural:
\log_{a}|u(x)|=\frac{\ln|u(x)|}{\ln a}.
Explicação curta: \ln é o logaritmo natural (base e); para qualquer y>0 vale \log_{a}y=\dfrac{\ln y}{\ln a}. No nosso caso usamos |u(x)| para permitir u(x) negativo (o logaritmo exige argumento positivo, e |u| garante positividade). Como \ln a é constante (já que a é constante), temos que f é a constante \dfrac{1}{\ln a} multiplicando \ln|u(x)|:
f(x)=\frac{1}{\ln a}\,\ln|u(x)|.

Passo 3

Aplicamos a regra básica de derivação de um produto por constante: a derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g^{\prime}(x) quando c é constante. Logo
f^{\prime}(x)=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d}{dx}\big(\ln|u(x)|\big).
Agora precisamos achar \dfrac{d}{dx}\big(\ln|u(x)|\big). Vamos fazer isso com cuidado, usando a cadeia e a derivada de |u|.

Passo 4

Seja v(x)=|u(x)|. Então \ln|u(x)|=\ln v(x). A derivada de \ln v é \dfrac{v'}{v}. Portanto
\frac{d}{dx}\big(\ln|u(x)|\big)=\frac{v'(x)}{v(x)}.
Agora calcule v'(x). Sabemos que para u(x)\neq0 a derivada de |u| é
v'(x)=\frac{d}{dx}|u(x)|=u'(x)\cdot \operatorname{sgn}(u(x)),
onde \operatorname{sgn}(u) é a função sinal: \operatorname{sgn}(u)=1 se u>0 e -1 se u<0. Substituindo em \dfrac{v'}{v} obtemos
\frac{v'(x)}{v(x)}=\frac{u'(x)\cdot \operatorname{sgn}(u(x))}{|u(x)|}.
Agora usamos a relação \operatorname{sgn}(u(x))=\dfrac{u(x)}{|u(x)|}. Substituindo:
\frac{u'(x)\cdot \operatorname{sgn}(u(x))}{|u(x)|} =\frac{u'(x)\cdot \dfrac{u(x)}{|u(x)|}}{|u(x)|} =\frac{u'(x)\,u(x)}{|u(x)|^{2}}.
Mas note que |u(x)|^{2}=u(x)^{2}. Assim
\frac{u'(x)\,u(x)}{|u(x)|^{2}}=\frac{u'(x)\,u(x)}{u(x)^{2}}=\frac{u'(x)}{u(x)},
válido sempre que u(x)\neq0. Então concluímos:
\frac{d}{dx}\big(\ln|u(x)|\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 5

Voltando para f^{\prime}, substituímos o resultado do passo anterior:
f^{\prime}(x)=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{u'(x)}{u(x)}
e reescrevendo de forma habitual:
f^{\prime}(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\cdot \ln a}.
Observações importantes para a prova: certifique-se de que u(x)\neq0 no ponto onde aplica a fórmula; a presença do valor absoluto em \log_{a}|u| garante que a fórmula funciona para u positivo ou negativo — a simplificação chave vem da identidade \dfrac{d}{dx}\ln|u|=\dfrac{u'}{u}. Em exames, um caminho prático e rápido é sempre: escrever \log_{a}|u|=\dfrac{\ln|u|}{\ln a} e aplicar cadeia.

Passo 6

Exemplos rápidos (para treinar e memorizar a técnica):
Exemplo 1: Se u(x)=x^{2}-1, então u'(x)=2x e
f^{\prime}(x)=\frac{2x}{(x^{2}-1)\cdot \ln a}.
Exemplo 2: Se u(x)=\sin x, então u'(x)=\cos x e
f^{\prime}(x)=\frac{\cos x}{\sin x\cdot \ln a}=\frac{1}{\ln a}\cot x,
valendo para x tais que \sin x\neq0.
Dica de prova: sempre transforme \log_{a} em \dfrac{\ln}{\ln a}, depois aplique a regra da cadeia; cuidado com o domínio ( u\neq0) e escreva no papel que usa \dfrac{d}{dx}\ln|u|=\dfrac{u'}{u} quando fizer a conta.

Resposta

f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)\cdot \ln a}

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