Resolva em R as inequações abaixo:
(e) |x^2 - 6x + 5| + 1 < x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Primeiro, resumindo o que temos aqui:
  • Tipo de problema: Inequação envolvendo valor absoluto.
  • Matéria envolvida: Álgebra, especificamente resolução de inequações com módulo.
  • O que precisamos: Entender como lidar com o valor absoluto e dividir a inequação em casos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor absoluto. A expressão significa que estamos olhando para a distância de A em relação a zero na reta numérica, ou seja, sempre será positivo ou zero. Então, para resolver , precisamos considerar dois casos:
  1. Quando
  2. Quando

Passo 3

Caso 1:
Aqui, o valor absoluto não muda a expressão, então a inequação fica:
Simplificando:

Passo 4

Vamos levar tudo para um lado da inequação para facilitar:
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, resolvemos a inequação quadrática . Para isso, encontramos as raízes da equação usando a fatoração:
Então, as raízes são x = 1 e .

Passo 6

Para saber onde a inequação é verdadeira, analisamos o sinal do polinômio entre as raízes:
  • Entre x = 1 e , o polinômio é negativo.
  • Fora desse intervalo, é positivo.
Então, a solução desse caso é .

Passo 7

Lembrando que nesse caso , vamos verificar onde isso acontece. Resolvemos :
Fatorando:
As soluções são x <= 1 ou .

Passo 8

Agora, combinamos as soluções das duas inequações do Caso 1:
  • A solução da inequação quadrática é .
  • A condição para esse caso é x <= 1 ou .
A interseção dessas condições é .

Passo 9

Caso 2:
Aqui, o valor absoluto inverte o sinal da expressão dentro, então a inequação fica:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 10

Levamos tudo para um lado da inequação:
Simplificando:
Multiplicamos por -1 (lembre que isso inverte o sinal da inequação):

Passo 11

Resolvemos a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes da equação :
Fatorando:
As raízes são x = 1 e .

Passo 12

Analisamos o sinal do polinômio :
  • Para , o polinômio é positivo.
  • Entre , é negativo.
  • Para , é positivo.
Então, a solução dessa inequação é ou .

Passo 13

Lembrando que nesse caso , vamos verificar onde isso acontece. Resolvemos :
Fatorando:
As soluções são .

Passo 14

Combinamos as soluções das duas inequações do Caso 2:
  • A solução da inequação quadrática é ou .
  • A condição para esse caso é .
A interseção dessas condições é .

Resposta

Unindo as soluções dos dois casos, temos:
  • Caso 1:
  • Caso 2:
Portanto, a solução final da inequação em R é:

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