A derivada da função f(x)=raiz[3]x^5+4 raiz[5]x^3+x^-2 é:
a) f^prime(x)=53 x^23+125 x^-25-2 x^-3
b) f^prime(x)=23 x^23-25 x^-25-2 x^-3
c) f^prime(x)=53 x^23+125 x^-25-2 x^-1
d) f^prime(x)=53 x^43+125 x^25-2 x^-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz[3]x^5+4raiz[5]x^3+x^-2
O conteúdo principal é a regra do poder: se g(x)=x^n, então
g'(x)=n,x^n-1

Passo 2

Primeiro reescrevemos cada termo como potência:
raiz[3]x^5=(x^5)^tfrac13=x^tfrac53, 4raiz[5]x^3=4,(x^3)^tfrac15=4,x^tfrac35,
e o último já está em forma de potência: x^-2.
Logo
f(x)=x^tfrac53+4,x^tfrac35+x^-2

Passo 3

Aplicando a regra do poder em cada termo:
dfracddxx^tfrac53=tfrac53x^tfrac53-1=tfrac53x^tfrac23,
dfracddxl(4,x^tfrac35r)=4cdottfrac35x^tfrac35-1=tfrac125x^-tfrac25,
dfracddxx^-2=-2,x^-3.
Portanto,
f'(x)=53x^23+125x^-25-2x^-3

Passo 4

Comparando com as alternativas, vemos que coincide exatamente com a letra (a).

Resposta

(a)

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