1. A derivada da função
y=\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}
é:
a) \operatorname{sen} x.
b) \cos x.
c) \operatorname{tg} x.
d) \operatorname{cossec} x.
e) \operatorname{sec} x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \ln \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}
Este problema envolve:
– regras de logaritmo (extração de fator constante),
– identidade trigonométrica para transformar \frac{1-\cos x}{1+\cos x},
– regra da cadeia e derivada de \ln e de \tan.

Passo 2

Começamos tirando a raiz para fora do logaritmo como fator 1/2:
y = \ln\Bigl(\bigl(\tfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\bigr)^{1/2}\Bigr) = \tfrac12 \,\ln\!\bigl(\tfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\bigr).

Passo 3

Usamos a identidade
\tan^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = \frac{1-\cos x}{1+\cos x},
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y = \tfrac12 \,\ln\!\bigl(\tan^2\!\tfrac{x}{2}\bigr) = \ln\!\bigl|\tan\!\tfrac{x}{2}\bigr|.

Passo 4

Agora derivamos
y = \ln\!\bigl(\tan\!\tfrac{x}{2}\bigr).
Pela regra da cadeia e da derivada de \ln(u),
y' = \frac{1}{\tan(\tfrac{x}{2})}\,\frac{d}{dx}\bigl[\tan\tfrac{x}{2}\bigr] = \frac{1}{\tan(\tfrac{x}{2})}\cdot\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cdot\tfrac12.

Passo 5

Simplificando
y' = \tfrac12\,\frac{\operatorname{sec}^2(\tfrac{x}{2})}{\tan(\tfrac{x}{2})} = \tfrac12\,\frac{1/\cos^2(\tfrac{x}{2})}{\sin(\tfrac{x}{2})/\cos(\tfrac{x}{2})} = \frac{1}{2\,\sin(\tfrac{x}{2})\cos(\tfrac{x}{2})} = \frac{1}{\sin x} = \csc x.

Resposta

d) \operatorname{cossec} x (ou \csc x).

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