Usando a propriedade da linearidade e as Transformadas básicas de Laplace, determine:
\quad \mathcal{L}\left\{3 t^{2}+\operatorname{sen} 2 t-e^{t+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular \mathcal{L}\{3t^{2}+\sin 2t - e^{t+1}\}
usando a propriedade da linearidade e as transformadas básicas de Laplace.

Passo 2

Pela linearidade temos
\mathcal{L}\{3t^{2}+\sin 2t - e^{t+1}\} =3\,\mathcal{L}\{t^{2}\} \;+\;\mathcal{L}\{\sin 2t\}\;-\;\mathcal{L}\{e^{t+1}\}.

Passo 3

Sabemos que
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},
logo para n=2 vale
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}},
e portanto
3\,\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{6}{s^{3}}.

Passo 4

Também é conhecida a transformada
\mathcal{L}\{\sin at\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
então para a=2 temos
\mathcal{L}\{\sin 2t\}=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 5

Escrevendo e^{t+1}=e\cdot e^{t} e usando
\mathcal{L}\{e^{bt}\}=\frac{1}{s - b},
obtém-se
\mathcal{L}\{e^{t+1}\} = e\;\mathcal{L}\{e^{t}\} = \frac{e}{s-1}.

Passo 6

Somando as parcelas calculadas, chega-se a
\mathcal{L}\{3t^{2}+\sin 2t - e^{t+1}\} =\frac{6}{s^{3}} \;+\;\frac{2}{s^{2}+4}\;-\;\frac{e}{s-1}.

Resposta

\mathcal{L}\{3t^{2}+\sin 2t - e^{t+1}\} =\frac{6}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}+4}-\frac{e}{s-1}.

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