1. Determine a derivada da função y=\tan ^{-1}\left(x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá y = \tan^{-1}(x^2) e pede y'. Aqui vamos usar a regra da cadeia: se definirmos a função externa como f(u)=\tan^{-1}(u) e a interna como u(x)=x^2, então
y = f(u(x)),
e
y' = f'(u(x))\cdot u'(x).
Também precisamos saber que
f'(u) = \frac{1}{1+u^2}
para f(u)=\tan^{-1}(u).

Passo 2

Calculamos a derivada da parte interna u(x)=x^2. Usando a regra básica de potência:
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.

Passo 3

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
y' = f'(u(x))\cdot u'(x) = \frac{1}{1+\bigl(u(x)\bigr)^2}\;\cdot\;2x = \frac{2x}{1+(x^2)^2} = \frac{2x}{1+x^4}.

Resposta

y' = \frac{2x}{1+x^4}.

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