Usando a definição de Transformada de Laplace, determine mathcal{L}\left\{f(t)\right\} para as seguintes funções:
f(t)=\operatorname{cosh} (2 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=\operatorname{cosh}(2t). O conteúdo principal é a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
que exige saber manipular exponenciais e usar linearidade da transformada.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{cosh}(2t)=\frac{e^{2t}+e^{-2t}}{2},
de modo que, pela linearidade de \mathcal{L},
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(2t)\} =\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{2t}\} +\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{-2t}\}.

Passo 3

Pela definição, para \Re(s)>2 temos
\mathcal{L}\{e^{2t}\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{2t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-2)t}\,dt =\frac{1}{s-2},
e para \Re(s)>-2
\mathcal{L}\{e^{-2t}\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{-2t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+2)t}\,dt =\frac{1}{s+2}.

Passo 4

Substituindo esses resultados e somando as frações:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(2t)\} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2}\Bigr) =\frac{s}{s^{2}-4},
válido no domínio de convergência \Re(s)>2.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(2t)\}=\frac{s}{s^{2}-4},\qquad \Re(s)>2.

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