Prove que, sendo K um corpo, então:
N(K)={0}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando K é um corpo, o seu conjunto de elementos nilpotentes
N(K) \;=\;\{\,x\in K \mid \exists n\in\mathbb{N}\text{ tal que }x^n=0\}
é igual a \{0\}. Vamos usar a propriedade fundamental de corpos: não há divisores de zero.

Passo 2

Primeiro note que 0\in N(K), pois 0^1=0. Agora seja x\in N(K). Por definição existe n\in\mathbb{N} tal que
x^n = 0.
Como em um corpo não existem divisores de zero, a igualdade de produto a seguir implica que um dos fatores é zero. Podemos escrever
x^n = \underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ vezes}} = 0.
Logo, para que o produto seja zero, deve ocorrer x=0.

Resposta

Portanto, o único elemento nilpotente em K é 0, ou seja,
N(K)=\{0\}.

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