Prove que, sendo
um corpo, então:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando
é um corpo, o seu conjunto de elementos nilpotentes
é igual a
. Vamos usar a propriedade fundamental de corpos: não há divisores de zero.
Passo 2
Primeiro note que
, pois
. Agora seja
. Por definição existe
tal que
Como em um corpo não existem divisores de zero, a igualdade de produto a seguir implica que um dos fatores é zero. Podemos escrever
Logo, para que o produto seja zero, deve ocorrer
.
Resposta
Portanto, o único elemento nilpotente em
é
, ou seja,