A derivada lateral à esquerda de f no ponto x=a é dada pelo limite
f-^prime(a)=lim x a^- f(x)-f(a)x-a=lim h 0^- f(a+h)-f(a)h,
quando este existe. De maneira análoga, definimos derivada lateral à direita f+^prime(a). Mostre que f é derivável no ponto x=a se, e somente se, as derivadas laterais existem e são iguais.

Passo 1

O enunciado nos dá as definições de derivada lateral à esquerda
f-^prime(a)=limhto 0^-f(a+h)-f(a)h
e de derivada lateral à direita
f+^prime(a)=limhto 0^+f(a+h)-f(a)h,
além da derivada usual
f'(a)=limhto 0f(a+h)-f(a)h
Precisamos mostrar que f'(a) existe se, e somente se, f-^prime(a) e f+^prime(a) existem e são iguais.

Passo 2

Suponha que f seja derivável em a, isto é, que
L=limhto0f(a+h)-f(a)h
exista finito. Então, pela definição de limite, para hto0^- e para hto0^+ o quociente
tfracf(a+h)-f(a)h também tende a L. Logo tanto
limhto0^-f(a+h)-f(a)h=L
quanto
limhto0^+f(a+h)-f(a)h=L
existem e coincidem, ou seja, f-^prime(a)=f+^prime(a)=L.

Passo 3

Agora suponha que ambas as derivadas laterais existam e sejam iguais a um mesmo número L:
limhto0^-f(a+h)-f(a)h=L e limhto0^+f(a+h)-f(a)h=L
Pela propriedade de limites laterais, se o limite à esquerda e o limite à direita de uma função em zero existem e são iguais, então o limite bilateral existe e é igual a esse valor comum. Logo
limhto0f(a+h)-f(a)h=L,
ou seja, f'(a) existe e vale L.

Resposta

f é derivável em x=a se, e somente se, f-^prime(a) e f+^prime(a) existem e
f-^prime(a)=f+^prime(a)

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