A derivada lateral à esquerda de
no ponto
é dada pelo limite
quando este existe. De maneira análoga, definimos derivada lateral à direita
. Mostre que
é derivável no ponto
se, e somente se, as derivadas laterais existem e são iguais.
Passo 1
O enunciado nos dá as definições de derivada lateral à esquerda
e de derivada lateral à direita
além da derivada usual
Precisamos mostrar que
existe se, e somente se,
e
existem e são iguais.
Passo 2
Suponha que
seja derivável em
, isto é, que
exista finito. Então, pela definição de limite, para
e para
o quociente
também tende a
. Logo tanto
quanto
existem e coincidem, ou seja, .
quanto
existem e coincidem, ou seja,
Passo 3
Agora suponha que ambas as derivadas laterais existam e sejam iguais a um mesmo número
:
Pela propriedade de limites laterais, se o limite à esquerda e o limite à direita de uma função em zero existem e são iguais, então o limite bilateral existe e é igual a esse valor comum. Logo
ou seja,
existe e vale
.