Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral xn, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
xn=3 n^3+7 n^2+14 n^3-8 n+63;

Passo 1

Tá querendo saber se a sequência xn = 3 n^3 + 7 n^2 + 14 n^3 - 8 n + 63 converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequências de função racional em n e a gente vai precisar comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador, dividindo tudo pela maior potência de n.

Passo 2

Pra resolver, vamos usar a estratégia de dividir numerador e denominador por n^3 (a maior potência), assim a fórmula fica mais simples e a gente consegue ver o que sobra quando n cresce muito.

Passo 3

Aplicando a divisão por n^3:

Passo 4

Passo 5

\frac{3n^3 + 7n^2 + 1}{4n^3 - 8n + 63} = \frac{3 + \frac{7}{n} + \frac{1}{n^3}}{4 - \frac{8}{n^2} + \frac{63}{n^3}}

Passo 6

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Passo 7

Agora, observando o comportamento conforme n to infty, todos os termos com 1/n, 1/n^2 e 1/n^3 vão a zero, sobram apenas 3 no numerador e 4 no denominador, ou seja, o limite é tfrac34.

Resposta

A sequência converge e o limite é tfrac34.

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