Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral
, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
;
Passo 1
Tá querendo saber se a sequência
converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequências de função racional em
e a gente vai precisar comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador, dividindo tudo pela maior potência de
.
Passo 2
Pra resolver, vamos usar a estratégia de dividir numerador e denominador por
(a maior potência), assim a fórmula fica mais simples e a gente consegue ver o que sobra quando
cresce muito.
Passo 3
Aplicando a divisão por
:
Passo 4
Passo 5
\frac{3n^3 + 7n^2 + 1}{4n^3 - 8n + 63} = \frac{3 + \frac{7}{n} + \frac{1}{n^3}}{4 - \frac{8}{n^2} + \frac{63}{n^3}}
Passo 6
]
Passo 7
Agora, observando o comportamento conforme
, todos os termos com
,
e
vão a zero, sobram apenas 3 no numerador e 4 no denominador, ou seja, o limite é
.
Resposta
A sequência converge e o limite é
.