Determine o comprimento das curvas a seguir
r(t)=e^t i+e^-t j+raiz2 t k, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
vec r(t)=e^t,vec i+e^-t,vec j+raiz2,t,vec k
no intervalo 0<= t<=1.
O conteúdo é comprimento de arco de função vetorial, usando a fórmula
L ;=;integrala^bl|vec r,'(t)r|,dt

Passo 2

Calculemos a derivada vetorial:
vec r,'(t) =ddtl(e^t,vec i+e^-t,vec j+raiz2,t,vec kr) =e^t,vec i -e^-t,vec j +raiz2,vec k

Passo 3

Agora achamos a norma de vec r,'(t):
l|vec r,'(t)r| =raizl(e^tr)^2+l(-e^-tr)^2+l(raiz2r)^2 =raize^2t+e^-2t+2
Observe que
e^2t+e^-2t+2=(e^t+e^-t)^2,
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l|vec r,'(t)r|=e^t+e^-t

Passo 4

O comprimento é
L=integral0^1l(e^t+e^-tr),dt =l[e^t-e^-tr]0^1
Avaliando nos limites, vem
L=l(e^1-e^-1r)-l(e^0-e^0r) =e - e^-1

Resposta

L=e - e^-1

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