16^circ ) Questão.

Assuma que a n-ésima soma parcial de uma série é dada por sn=2-3^-n, então:
a) A série é convergente?
b) Se assim for, qual o valor da soma da série?
c) Encontre a fórmula do n-ésimo termo da série.

Passo 1

O enunciado nos dá a n-ésima soma parcial de uma série,
sn = 2 - 3^-n,
e pede:
a) verificar se a série converge;
b) em caso afirmativo, determinar o valor da soma;
c) encontrar a fórmula do n-ésimo termo an da série.
O conteúdo aqui é análise de séries por soma parcial e extração de termos pela relação
an = sn - sn-1

Passo 2

Para saber se a série é convergente, basta calcular o limite da sequência de somas parciais:
limntoinftysn =limntoinftyl(2-3^-nr) =2-0 =2
Como esse limite existe e é finito, a série converge.

Passo 3

O valor da soma da série é exatamente esse limite, ou seja,
sumk=1^inftyak =limntoinftysn =2

Passo 4

Para achar a fórmula de an, usamos
an=sn-sn-1
Primeiro, note que
sn-sn-1 =l(2-3^-nr)-l(2-3^-(n-1)r) =3^-(n-1)-3^-n =2cdot3^-n,
para n>=2. Além disso, a primeira soma parcial é
s1=2-3^-1=tfrac53,
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a1=s1=tfrac53

Resposta

a) Sim, a série converge.
b) A soma da série é 2.
c)
a1=tfrac53, an=2cdot3^-n(forall n>=2)

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