) Questão.
Assuma que a n-ésima soma parcial de uma série é dada por
, então:
a) A série é convergente?
b) Se assim for, qual o valor da soma da série?
c) Encontre a fórmula do n-ésimo termo da série.
a) A série é convergente?
b) Se assim for, qual o valor da soma da série?
c) Encontre a fórmula do n-ésimo termo da série.
Passo 1
O enunciado nos dá a n-ésima soma parcial de uma série,
e pede:
a) verificar se a série converge;
b) em caso afirmativo, determinar o valor da soma;
c) encontrar a fórmula do -ésimo termo
da série.
O conteúdo aqui é análise de séries por soma parcial e extração de termos pela relação
a) verificar se a série converge;
b) em caso afirmativo, determinar o valor da soma;
c) encontrar a fórmula do
O conteúdo aqui é análise de séries por soma parcial e extração de termos pela relação
Passo 2
Para saber se a série é convergente, basta calcular o limite da sequência de somas parciais:
Como esse limite existe e é finito, a série converge.
Passo 3
O valor da soma da série é exatamente esse limite, ou seja,
Passo 4
Para achar a fórmula de
, usamos
Primeiro, note que
para
. Além disso, a primeira soma parcial é
logo
Resposta
a) Sim, a série converge.
b) A soma da série é .
c)
b) A soma da série é
c)