Determine o comprimento das curvas a seguir
r(t)=13(1+t)^3 / 2 i+13(1-t)^3 / 2 j+12 t k,-1 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
vec r(t)=13(1+t)^3/2,vec i+13(1-t)^3/2,vec j+12t,vec k, -1<= t<=1,
e pede o comprimento dessa curva.
O conteúdo aqui é o comprimento de curva em parametrização vetorial, que se obtém pela fórmula
L=integrala^b|vec r,'(t)|;dt

Passo 2

Vamos calcular as componentes de vec r,'(t).
Para a componente x(t)=tfrac13(1+t)^3/2 temos
x'(t) =13cdot32(1+t)^1/2cdot1 =12,(1+t)^1/2
Para y(t)=tfrac13(1-t)^3/2 vem
y'(t) =13cdot32(1-t)^1/2cdot(-1) =-12,(1-t)^1/2
E para z(t)=tfrac12t obtemos
z'(t)=12
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vec r,'(t) =12raiz1+t,vec i-12raiz1-t,vec j+12,vec k

Passo 3

Agora calculamos a norma de vec r,'(t):
|vec r,'(t)|^2 =l(tfrac12raiz1+tr)^2 +l(-tfrac12raiz1-tr)^2 +l(tfrac12r)^2 =1+t4+1-t4+14 =34
Portanto
|vec r,'(t)| =raiz34 =raiz32,
que é constante em todo o intervalo.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento, temos
L =integral-1^1|vec r,'(t)|;dt =integral-1^1raiz32;dt =raiz32,(1-(-1)) =raiz3

Resposta

O comprimento da curva é raiz3.

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