Seja R[x] o conjunto de polinômios na variável x com coeficientes em R. Lembre que uma função T: R[x] R[x] é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz
T(a p(x)+b q(x))=a T(p(x))+b T(q(x)) para quaisquer polinômios p(x), q(x) in R[x] e escalares a, b in R.
Dentre as seguintes funções T: R[x] R[x], marque TODAS que são transformações lineares. Uma alternativa errada anula uma correta.
Resposta
T(p(x))=x p(x)-17 integral1^5 p(x) d x
T(p(x))=3+dd x integral1^5 p(x) d x
square
T(p(x))=integral1^5 x cdot p(x) d x
square
T(p(x))=integral1^5 p(x) d x
square
T(p(x))=d pd x(x)+integral1^5 p(x) d x
square
T(p(x))=integral-1^1 10 p(x) d x
square

Passo 1

O enunciado pede para identificar em R[x] todas as aplicações
– dentre as listadas – que satisfazem
T(a,p(x)+b,q(x)) ;=; a,T(p(x)) + b,T(q(x))
ou seja, que são transformações lineares. Vamos usar que as seguintes construções são lineares:
– multiplicação por x,
– derivação l(pmapsto p'r),
– integração definida l(pmapstointegrala^bp(x),dxr),
– combinação linear e soma de operadores lineares.
E que a adição de uma constante fixa (deslocamento) quebra a linearidade.

Passo 2

Verificamos cada T usando a linearidade dos operadores básicos e a regra da soma:
  1. pmapsto x,p(x) é linear.
  2. pmapsto integral1^5p(x),dx (e variações como integral x,p(x),dx ou com constante multiplicativa) são funcionais lineares.
  3. pmapsto p'(x) é linear.
  4. A soma de operadores lineares é linear.
  5. Qualquer termo constante adicionado, como “ +3”, gera um operador afim, não linear.

Passo 3

Analisando
T(p(x)) = x,p(x);-;17integral1^5p(x),dx:
pmapsto x,p(x) é linear,
pmapsto integral1^5p(x),dx é linear, multiplicado por -17 continua linear,
– soma de lineares é linear.
Logo, essa T é linear.

Passo 4

Analisando
T(p(x)) = 3 ;+;ddxl(integral1^5p(x),dxr):
integral1^5p(x),dx é um número, sua derivada em x é 0,
T(p)=3 para todo p: é uma aplicação constante não enviando 0mapsto0.
Logo, não é linear.

Passo 5

Analisando em bloco as integrais-constantes:
T(p(x))=integral1^5x,p(x),dx, T(p(x))=integral1^5p(x),dx, T(p(x))=integral-1^110,p(x),dx
Cada uma delas é da forma
pmapsto C!integral p ou pmapsto integral x,p,
que satisfaz
T(a p + b q) =integral(dots)(a p + b q) =a,integral(dots) p + b,integral(dots) q = a,T(p) + b,T(q)
Portanto, todas são lineares.

Passo 6

Analisando
T(p(x)) = dpdx(x);+;integral1^5p(x),dx:
pmapsto p'(x) é linear,
pmapsto integral1^5p(x),dx é linear,
– a soma de operadores lineares é linear.
Logo, essa T também é linear.

Resposta

As transformações lineares são:
T(p(x)) = x,p(x);-;17integral1^5p(x),dx,
T(p(x)) = integral1^5x,p(x),dx,
T(p(x)) = integral1^5p(x),dx,
T(p(x)) = dpdx(x);+;integral1^5p(x),dx,
T(p(x)) = integral-1^110,p(x),dx

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