Seja
o conjunto de polinômios na variável
com coeficientes em
. Lembre que uma função
é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz
para quaisquer polinômios
e escalares
.
Dentre as seguintes funções
, marque TODAS que são transformações lineares. Uma alternativa errada anula uma correta.
Resposta
Dentre as seguintes funções
Resposta
Passo 1
O enunciado pede para identificar em
todas as aplicações
– dentre as listadas – que satisfazem
– dentre as listadas – que satisfazem
ou seja, que são transformações lineares. Vamos usar que as seguintes construções são lineares:
– multiplicação por ,
– derivação ,
– integração definida ,
– combinação linear e soma de operadores lineares.
E que a adição de uma constante fixa (deslocamento) quebra a linearidade.
– multiplicação por
– derivação
– integração definida
– combinação linear e soma de operadores lineares.
E que a adição de uma constante fixa (deslocamento) quebra a linearidade.
Passo 2
Verificamos cada
usando a linearidade dos operadores básicos e a regra da soma:
-
é linear. -
(e variações como ou com constante multiplicativa) são funcionais lineares. -
é linear. - A soma de operadores lineares é linear.
- Qualquer termo constante adicionado, como “
”, gera um operador afim, não linear.
Passo 3
Analisando
–
é linear,
– é linear, multiplicado por
continua linear,
– soma de lineares é linear.
Logo, essa é linear.
–
– soma de lineares é linear.
Logo, essa
Passo 4
Analisando
–
é um número, sua derivada em
é
,
– para todo
: é uma aplicação constante não enviando
.
Logo, não é linear.
–
Logo, não é linear.
Passo 5
Analisando em bloco as integrais-constantes:
Cada uma delas é da forma
ou
,
que satisfaz
que satisfaz
Portanto, todas são lineares.
Passo 6
Analisando
–
é linear,
– é linear,
– a soma de operadores lineares é linear.
Logo, essa também é linear.
–
– a soma de operadores lineares é linear.
Logo, essa
Resposta
As transformações lineares são: