Determine todos os inteiros positivos n tais que (n+1) mid(n^2+35).

Passo 1

O enunciado pede os inteiros positivos n tais que
(n+1)midl(n^2+35r)
O conteúdo aqui é divisibilidade de polinômios e uso de congruências para encontrar o resto de n^2+35 na divisão por n+1.

Passo 2

Note que, por definição de resto, nequiv -1pmodn+1. Elevando ao quadrado, temos
n^2equiv(-1)^2=1pmodn+1,
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n^2+35equiv1+35=36pmodn+1

Passo 3

A condição (n+1)mid(n^2+35) equivale a
(n+1)mid36
Como n é positivo, n+1>=2. Os divisores positivos de 36 são
1,2,3,4,6,9,12,18,36,
mas devemos descartar 1 porque aí n=0 não é positivo.

Passo 4

Para cada divisor d>=2 de 36 tomamos n=d-1. Isso gera
d=2to n=1, d=3to n=2, d=4to n=3, d=6to n=5,
d=9to n=8, d=12to n=11, d=18to n=17, d=36to n=35
Verificamos que todos esses valores de n satisfazem a condição original.

Resposta

nin1,2,3,5,8,11,17,35

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