Obtenha 3 números em P.A., sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é \frac{23}{30}.

Passo 1

O enunciado pede: obter três números que formam uma progressão aritmética (P.A.) e satisfazem duas condições dadas. As informações relevantes do enunciado são:
  • A soma dos três números é 18.
  • A soma dos inversos (recíprocos) dos três números é \dfrac{23}{30}.
As perguntas implícitas são:
  • Quais são os três termos da P.A. que satisfazem essas duas condições?

Passo 2

Escolher uma forma conveniente para representar três termos em P.A. Para três termos em P.A. é comum usar o termo central como referência, porque numa P.A. de três termos o termo do meio é a média aritmética dos três. Então represento os termos por
a-d,\qquad a,\qquad a+d,
onde a é o termo do meio e d é a razão (diferença comum). Aqui d pode ser positivo, negativo ou zero; se d=0 os três termos são iguais.

Passo 3

Usar a informação da soma dos termos. A soma dos três termos é
(a-d)+a+(a+d)=3a.
Pelo enunciado essa soma vale 18, portanto
3a=18.
Resolvendo,
a=6.

Passo 4

Agora escrever a equação que expressa a soma dos inversos. Os inversos dos termos são \dfrac{1}{a-d}, \dfrac{1}{a} e \dfrac{1}{a+d}. A condição do enunciado é
\frac{1}{a-d}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+d}=\frac{23}{30}.
Já achamos a=6, então substituímos a por 6 na equação:
\frac{1}{6-d}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6+d}=\frac{23}{30}.

Passo 5

Simplificar a soma dos dois termos simétricos \dfrac{1}{6-d}+\dfrac{1}{6+d}. Para somar frações com denominadores simétricos, somamos os numeradores sobre o produto dos denominadores:
\frac{1}{6-d}+\frac{1}{6+d}=\frac{(6+d)+(6-d)}{(6-d)(6+d)}=\frac{12}{36-d^{2}}.
Portanto a equação dos inversos fica
\frac{12}{36-d^{2}}+\frac{1}{6}=\frac{23}{30}.

Passo 6

Resolver a equação racional. Primeiro escrevo \dfrac{1}{6} com denominador 30 para facilitar a comparação:
\frac{1}{6}=\frac{5}{30}.
Subtraindo esse termo dos dois lados na equação original:
\frac{12}{36-d^{2}}=\frac{23}{30}-\frac{5}{30}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}.
Agora resolvo a igualdade
\frac{12}{36-d^{2}}=\frac{3}{5}.
Multiplicando em cruz (ou isolando o denominador):
12\cdot 5 = 3\cdot(36-d^{2}).
Calculando os lados:
60 = 108 - 3d^{2}.
Passando termos:
3d^{2} = 108 - 60 = 48.
Logo
d^{2} = \frac{48}{3} = 16.
Portanto
d = \pm 4.

Passo 7

Determinar os três termos para cada sinal de d. Lembrando que os termos são (a-d,\,a,\,a+d) com a=6:
  • Se d=4, os termos são
6-4=2,\qquad 6,\qquad 6+4=10.
  • Se d=-4, os termos são
6-(-4)=10,\qquad 6,\qquad 6+(-4)=2,
que é a mesma P.A. apenas escrita em ordem invertida. Portanto a P.A. de três termos que satisfaz as condições é (em ordem crescente) 2,\,6,\,10.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): conferir a soma e a soma dos inversos.
  • Soma: 2+6+10=18.
  • Soma dos inversos:
\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{15}{30}+\frac{5}{30}+\frac{3}{30}=\frac{23}{30},
confirma a condição do enunciado.

Resposta

2,\;6,\;10

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