Obtenha 3 números em P.A., sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é
.
Passo 1
O enunciado pede: obter três números que formam uma progressão aritmética (P.A.) e satisfazem duas condições dadas. As informações relevantes do enunciado são:
- A soma dos três números é
. - A soma dos inversos (recíprocos) dos três números é
.
As perguntas implícitas são:
- Quais são os três termos da P.A. que satisfazem essas duas condições?
Passo 2
Escolher uma forma conveniente para representar três termos em P.A. Para três termos em P.A. é comum usar o termo central como referência, porque numa P.A. de três termos o termo do meio é a média aritmética dos três. Então represento os termos por
onde
é o termo do meio e
é a razão (diferença comum). Aqui
pode ser positivo, negativo ou zero; se
os três termos são iguais.
Passo 3
Usar a informação da soma dos termos. A soma dos três termos é
Pelo enunciado essa soma vale
, portanto
Resolvendo,
Passo 4
Agora escrever a equação que expressa a soma dos inversos. Os inversos dos termos são
,
e
. A condição do enunciado é
Já achamos
, então substituímos
por
na equação:
Passo 5
Simplificar a soma dos dois termos simétricos
. Para somar frações com denominadores simétricos, somamos os numeradores sobre o produto dos denominadores:
Portanto a equação dos inversos fica
Passo 6
Resolver a equação racional. Primeiro escrevo
com denominador
para facilitar a comparação:
Subtraindo esse termo dos dois lados na equação original:
Agora resolvo a igualdade
Multiplicando em cruz (ou isolando o denominador):
Calculando os lados:
Passando termos:
Logo
Portanto
Passo 7
Determinar os três termos para cada sinal de
. Lembrando que os termos são
com
:
- Se
, os termos são
- Se
, os termos são
que é a mesma P.A. apenas escrita em ordem invertida. Portanto a P.A. de três termos que satisfaz as condições é (em ordem crescente)
.
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): conferir a soma e a soma dos inversos.
- Soma:
. - Soma dos inversos:
confirma a condição do enunciado.