Derivadas no Ponto
f(x)=x \cdot \ln (x), calcule f^{\prime}(1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x\ln(x) no ponto x=1. O conteúdo é cálculo de derivada de um produto de funções, para o qual vamos usar a regra do produto e a derivada da função \ln(x).

Passo 2

Para f(x)=u(x)v(x) a regra do produto diz que
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui escolhemos u(x)=x e v(x)=\ln(x). Então u'(x)=1 e v'(x)=\frac{1}{x}. Logo,
f'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}.

Passo 3

Simplificando,
f'(x)=\ln(x)+1.

Passo 4

Para encontrar f'(1) substituímos x=1. Como \ln(1)=0, temos
f'(1)=0+1=1.

Resposta

f'(1)=1

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