Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{y z} \mathbf{i}+x z e^{y z} \mathbf{j}+x y e^{y z} \mathbf{k}
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{y z} \mathbf{i}+x z e^{y z} \mathbf{j}+x y e^{y z} \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo
é conservativo em (que é simplesmente-conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função
tal que
. Para isso vamos usar o critério de conservatividade (verificar se
) e, depois, obter o potencial escalar por integração das componentes de
.
é conservativo em
Passo 2
Calcular o rotacional
. As componentes de
são
A componente
do rotacional é
A componente
é
e a componente
é
Logo
em
.
Passo 3
Como o domínio é simplesmente-conexo e o rotacional é nulo, concluímos que
é conservativo. Existe um potencial escalar
tal que
Passo 4
Para encontrar
, integramos componente a componente. Primeiro, de
vem
onde
é função arbitrária de
.
Em seguida, impomos
Em seguida, impomos
logo
e
.
Por fim, impomos
Por fim, impomos
o que dá
e, portanto,
(constante).
Resposta
O campo
é conservativo e um potencial escalar é