Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{y z} \mathbf{i}+x z e^{y z} \mathbf{j}+x y e^{y z} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo \mathbf{F}(x,y,z)=e^{yz}\,\mathbf{i}+xze^{yz}\,\mathbf{j}+xye^{yz}\,\mathbf{k}
é conservativo em \mathbb{R}^3 (que é simplesmente-conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função f tal que \nabla f=\mathbf{F}. Para isso vamos usar o critério de conservatividade (verificar se \nabla\times\mathbf{F}=0) e, depois, obter o potencial escalar por integração das componentes de \mathbf{F}.

Passo 2

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. As componentes de \mathbf{F} são
F_1 = e^{yz},\quad F_2 = xz e^{yz},\quad F_3 = xy e^{yz}.
A componente i do rotacional é
(\nabla\times\mathbf{F})_1 =\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =\bigl(xe^{yz}+xyz\,e^{yz}\bigr)-\bigl(xe^{yz}+xyz\,e^{yz}\bigr)=0.
A componente j é
(\nabla\times\mathbf{F})_2 =\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =\bigl(y\,e^{yz}\bigr)-\bigl(y\,e^{yz}\bigr)=0,
e a componente k é
(\nabla\times\mathbf{F})_3 =\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =\bigl(z\,e^{yz}\bigr)-\bigl(z\,e^{yz}\bigr)=0.
Logo \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Como o domínio é simplesmente-conexo e o rotacional é nulo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo. Existe um potencial escalar f tal que
\nabla f = \mathbf{F}.

Passo 4

Para encontrar f, integramos componente a componente. Primeiro, de
\frac{\partial f}{\partial x}=F_1=e^{yz}
vem
f(x,y,z)=\int e^{yz}\,dx = x e^{yz} + g(y,z),
onde g é função arbitrária de y,z.
Em seguida, impomos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xe^{yz}+g(y,z)\bigr) = xz\,e^{yz} + \frac{\partial g}{\partial y} \stackrel!=F_2 = xz\,e^{yz},
logo \partial g/\partial y=0 e g(y,z)=h(z).
Por fim, impomos
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xe^{yz}+h(z)\bigr) = xy\,e^{yz} + h'(z) \stackrel!=F_3 = xy\,e^{yz},
o que dá h'(z)=0 e, portanto, h(z)=C (constante).

Resposta

O campo \mathbf{F} é conservativo e um potencial escalar é
f(x,y,z)=x\,e^{yz}+C.

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