Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=3 x y^{2} z^{2} \mathbf{i}+2 x^{2} y z^{3} \mathbf{j}+3 x^{2} y^{2} z^{2} \mathbf{k}
\mathbf{F}(x, y, z)=3 x y^{2} z^{2} \mathbf{i}+2 x^{2} y z^{3} \mathbf{j}+3 x^{2} y^{2} z^{2} \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se
é conservativo (i.e., existe
tal que
). O domínio natural de
é
, que é simplesmente conexo, então basta checar se
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais necessárias ao rotor. Para o componente
do rotor, basta comparar
Aqui
Passo 3
Observamos que
em geral. Isso implica que o rotor de
não é o vetor nulo.
Passo 4
Como
em
, concluímos que
não é um campo conservativo. Logo, não existe função potencial
tal que
.
Resposta
O campo
não é conservativo.