Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=3 x y^{2} z^{2} \mathbf{i}+2 x^{2} y z^{3} \mathbf{j}+3 x^{2} y^{2} z^{2} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr) = \bigl(3\,x\,y^{2}\,z^{2},\;2\,x^{2}\,y\,z^{3},\;3\,x^{2}\,y^{2}\,z^{2}\bigr)
e pede para verificar se \mathbf{F} é conservativo (i.e., existe f tal que \nabla f=\mathbf{F}). O domínio natural de \mathbf{F} é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo, então basta checar se \nabla\times\mathbf{F}=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias ao rotor. Para o componente k do rotor, basta comparar
\frac{\partial P}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui
P(x,y,z)=3\,x\,y^{2}\,z^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y} =6\,x\,y\,z^{2},
Q(x,y,z)=2\,x^{2}\,y\,z^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x} =4\,x\,y\,z^{3}.

Passo 3

Observamos que
\frac{\partial P}{\partial y} =6\,x\,y\,z^{2} \quad\neq\quad 4\,x\,y\,z^{3} =\frac{\partial Q}{\partial x}
em geral. Isso implica que o rotor de \mathbf{F} não é o vetor nulo.

Passo 4

Como \nabla\times\mathbf{F}\neq\mathbf{0} em \mathbb{R}^3, concluímos que \mathbf{F} não é um campo conservativo. Logo, não existe função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Resposta

O campo \mathbf{F} não é conservativo.

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