Derivadas com Regra da Cadeia (composição de funções)
\mathrm{f}(\mathrm{x})=(3 \mathrm{x}+2)^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = (3x + 2)^{5}
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia, que usamos sempre que temos uma composição de duas funções. Vamos precisar identificar a função externa e a função interna, calcular suas derivadas e depois combinar tudo.

Passo 2

Definimos a função externa g e a interna h assim:
g(u) = u^{5}, \quad h(x) = 3x + 2.
Logo, f(x) = g\bigl(h(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de g e de h:
g'(u) = 5\,u^{4}, \qquad h'(x) = 3.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr)\,\cdot h'(x).
Substituindo h(x) e h'(x):
f'(x) = 5\,(3x+2)^{4} \;\times\; 3.

Passo 5

Simplificando o produto:
f'(x) = 15\,(3x + 2)^{4}.

Resposta

f'(x) = 15\,(3x + 2)^{4}.

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