Sejam f e g funções dadas por f(x)=ll4 x^2+3 x+2 & x<0 x^2+12 & x >= 0 e g(x)=ll1-2 x & x <=-5 x+2 & x>-5. Para x in(-4,-2), a derivada da função f circ g calculada em x é:
a. 8 x-13
b. 4 x+19
c. 8 x+21
Od. 32 x-22
○. 8 x+19

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas por partes, f(x) e g(x) . Queremos encontrar a derivada da função composta f circ g no intervalo x in (-4, -2) . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções compostas e a regra da cadeia no cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função composta. A função f circ g significa que a gente aplica a função g primeiro e depois aplica f no resultado de g(x) . Ou seja:
(f circ g)(x) = f(g(x))

Passo 3

Para encontrar a derivada de uma função composta, usamos a regra da cadeia. Essa regra nos diz que a derivada de f circ g é a derivada de f em relação a g(x) , vezes a derivada de g em relação a x . Matemáticamente, fica assim:
(f circ g)'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 4

Vamos identificar qual parte das funções definidas por partes estamos usando no intervalo x in (-4, -2) .
Para a função g(x) :
  • Se x > -5 , então g(x) = x + 2 .
Como -4 > -5 e -2 > -5 , estamos no caso g(x) = x + 2 .

Passo 5

Agora, vamos calcular g(x) no intervalo:
g(x) = x + 2
Isso significa que, para qualquer x entre -4 e -2:
g(x) = x + 2

Passo 6

Vamos determinar o intervalo de g(x) quando x in (-4, -2) :
  • Para x = -4 : g(-4) = -4 + 2 = -2
  • Para x = -2 : g(-2) = -2 + 2 = 0
Então, g(x) varia de -2 a 0 nesse intervalo.
Para a função f(x) :
  • Se g(x) < 0 , então f(g(x)) = 4(g(x))^2 + 3g(x) + 2 .
  • Se g(x) >= 0 , então f(g(x)) = (g(x))^2 + 12 .
Como g(x) está entre -2 e 0, que é menor que 0, usamos:
f(g(x)) = 4(g(x))^2 + 3g(x) + 2

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) e g(x) :
Derivada de f(x) = 4x^2 + 3x + 2 :
f'(x) = 8x + 3
Derivada de g(x) = x + 2 :
g'(x) = 1

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia, temos:
(f circ g)'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
(f circ g)'(x) = (8g(x) + 3) cdot 1 = 8g(x) + 3

Passo 9

Agora, substituímos g(x) = x + 2 na expressão:
8g(x) + 3 = 8(x + 2) + 3 = 8x + 16 + 3 = 8x + 19

Resposta

A derivada da função f circ g calculada em x no intervalo (-4, -2) é 8x + 19 , correspondendo à opção e. 8x + 19 .

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