Sejam
e
funções dadas por
e
. Para
, a derivada da função
calculada em
é:
a.
b.
c.
Od.
○.
a.
b.
c.
Od.
○.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas por partes,
e
. Queremos encontrar a derivada da função composta
no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções compostas e a regra da cadeia no cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função composta. A função
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois aplica
no resultado de
. Ou seja:
Passo 3
Para encontrar a derivada de uma função composta, usamos a regra da cadeia. Essa regra nos diz que a derivada de
é a derivada de
em relação a
, vezes a derivada de
em relação a
. Matemáticamente, fica assim:
Passo 4
Vamos identificar qual parte das funções definidas por partes estamos usando no intervalo
.
Para a função
:
- Se
, então .
Como
e
, estamos no caso
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
no intervalo:
Isso significa que, para qualquer
entre -4 e -2:
Passo 6
Vamos determinar o intervalo de
quando
:
- Para
: - Para
:
Então,
varia de -2 a 0 nesse intervalo.
Para a função
:
- Se
, então . - Se
, então .
Como
está entre -2 e 0, que é menor que 0, usamos:
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
:
Derivada de
:
Derivada de
:
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão:
Resposta
A derivada da função
calculada em
no intervalo
é
, correspondendo à opção e.
.