Seja r a reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^2+9 no ponto x=3. A reta tangente ao gráfico da função g(x)=3 x+arcsen(3 x+4) é paralela a r quando x é igual a:
  • a. 13b. -13
    c. 43
    ○ d. -3
    e. -43

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve retas tangentes e suas inclinações. O problema nos pede para encontrar o valor de x onde a reta tangente à função g(x) = 3x + arcsen(3x + 4) é paralela à reta tangente r da função f(x) = x^2 + 9 no ponto x = 3 . Para isso, vamos precisar entender derivadas, que nos dizem a inclinação das retas tangentes em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta tangente r à função f(x) = x^2 + 9 no ponto x = 3 . A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função no ponto considerado.
A derivada de f(x) é:
f'(x) = 2x
Então, no ponto x = 3 :
f'(3) = 2 times 3 = 6
Portanto, a inclinação da reta r é 6.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à função g(x) = 3x + arcsen(3x + 4) . Primeiro, vamos derivar g(x) :
g'(x) = 3 + ddx arcsen(3x + 4)
A derivada de arcsen(u) é:
ddx arcsen(u) = u'raiz1 - u^2
Aqui, u = 3x + 4 e u' = 3 , então:
g'(x) = 3 + 3raiz1 - (3x + 4)^2

Passo 4

Queremos que a reta tangente a g(x) seja paralela a r , o que significa que as inclinações devem ser iguais. Então, igualamos g'(x) a 6:
3 + 3raiz1 - (3x + 4)^2 = 6
Vamos resolver essa equação para encontrar x .

Passo 5

Subtraindo 3 de ambos os lados:
3raiz1 - (3x + 4)^2 = 3
Dividindo ambos os lados por 3:
1raiz1 - (3x + 4)^2 = 1
Invertendo os dois lados:
raiz1 - (3x + 4)^2 = 1

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 - (3x + 4)^2 = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
-(3x + 4)^2 = 0
Multiplicando por -1:
(3x + 4)^2 = 0
Extraindo a raiz quadrada:
3x + 4 = 0

Passo 7

Resolvendo para x :
3x = -4
x = -43

Resposta

A reta tangente à função g(x) é paralela à reta r quando x é igual a -43 . Portanto, a resposta correta é a letra e. -43 .

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