Derivando com a regra da cadeia encontre derivadas das seguintes funções:
h(x)=\frac{(x+1)^{2}}{1+x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\frac{(x+1)^{2}}{1+x^{2}}
Usaremos aqui o método da regra do quociente, que envolve também a regra da cadeia para derivar potências.

Passo 2

Seja
u(x)=(x+1)^{2} \qquad\text{e}\qquad v(x)=1+x^{2}.
Pela regra do quociente,
h'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculemos u'(x) e v'(x) separadamente.
Para u(x)=(x+1)^{2}, aplicando a regra da cadeia (derivada de algo ao quadrado):
u'(x) =2\,(x+1)\cdot\frac{d}{dx}(x+1) =2(x+1)\cdot1 =2(x+1).
Para v(x)=1+x^{2}:
v'(x) =2x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do quociente:
h'(x) =\frac{2(x+1)\,(1+x^{2}) - (x+1)^{2}\,2x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 5

Fatorando 2(x+1) no numerador:
\begin{aligned} h'(x) &=\frac{2(x+1)\bigl(1+x^{2}\bigr) - 2x(x+1)^{2}}{(1+x^{2})^{2}}\\\ &=\frac{2(x+1)\bigl[(1+x^{2}) - x(x+1)\bigr]}{(1+x^{2})^{2}}\\\ &=\frac{2(x+1)\bigl(1 + x^{2} - x^{2} - x\bigr)}{(1+x^{2})^{2}}\\\ &=\frac{2(x+1)\,(1 - x)}{(1+x^{2})^{2}}. \end{aligned}

Resposta

h'(x)=\frac{2(x+1)\,(1 - x)}{(1+x^{2})^{2}}.

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