Derivando com a regra da cadeia encontre derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{\left(e^{x}-1\right)^{2}}{\ln \left(x^{2}-2 x\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2}}{\ln\bigl(x^{2}-2x\bigr)}
usando a regra da cadeia e, como há uma divisão, também a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2} \quad\text{e}\quad v(x)=\ln\bigl(x^{2}-2x\bigr),
de modo que
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}
e, pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x) é composição de w\mapsto w^{2} com w=e^{x}-1, a regra da cadeia dá
u'(x) =2\bigl(e^{x}-1\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-1\bigr) =2\bigl(e^{x}-1\bigr)\,e^{x}.

Passo 4

Calculamos v'(x). Como v(x)=\ln(h(x)) com h(x)=x^{2}-2x, temos
v'(x) =\frac{1}{h(x)}\,h'(x) =\frac{1}{x^{2}-2x}\,(2x-2) =\frac{2x-2}{x^{2}-2x}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{2\bigl(e^{x}-1\bigr)e^{x}\,\ln\bigl(x^{2}-2x\bigr) -\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2}\,\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}} {\Bigl[\ln\bigl(x^{2}-2x\bigr)\Bigr]^{2}}.

Passo 6

Podemos deixar a resposta na forma factorizada comum a muitos exercícios de derivada:
f'(x) =\frac{2\bigl(e^{x}-1\bigr)}{\ln^{2}\bigl(x^{2}-2x\bigr)} \left[ e^{x}\,\ln\bigl(x^{2}-2x\bigr) -\frac{\bigl(e^{x}-1\bigr)(x-1)}{x(x-2)} \right],
já que \frac{2x-2}{x^{2}-2x}=\frac{2(x-1)}{x(x-2)}.

Resposta

f'(x) =\frac{2\bigl(e^{x}-1\bigr)e^{x}\,\ln\bigl(x^{2}-2x\bigr) -\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2}\,\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}} {\Bigl[\ln\bigl(x^{2}-2x\bigr)\Bigr]^{2}}.

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