Sobre a função f(x)=\frac{(x+1)^{2}}{1+x^{2}} :
(a) Identifique os intervalos onde f cresce e onde decresce.
(b) identifique os intervalos onde f é côncava para baixo e onde é côncava para cima.
(c) Apresente os pontos críticos, indique quais são de máximo ou de mínimo locais e apresente os pontos de inflexão.
(d) Identifique se f possui assíntotas e realize o esboço do gráfico no plano cartesiano indicando pontos onde o gráfico corta os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado trata do estudo de curva de
f(x)=\frac{(x+1)^{2}}{1+x^{2}}
para determinar onde ela cresce/decresce, sua concavidade, pontos críticos (máximos, mínimos e de inflexão), além de assíntotas e interceptos. Vamos usar derivadas primeira e segunda, exame de sinal e comportamento assintótico.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira por quociente. Se
f(x)=\frac{(x+1)^{2}}{1+x^{2}},
então
f'(x) =\frac{2(x+1)(1+x^{2})-(x+1)^{2}\cdot2x}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{2(x+1)(1-x)}{(1+x^{2})^{2}}.
Das raízes do numerador x=-1 e x=1 obtemos a variação de sinal: em (-\infty,-1) e (1,\infty) temos f'<0 (decresce) e em (-1,1) temos f'>0 (cresce). Os pontos críticos são x=-1 e x=1; em x=-1 a função vai de decrescente a crescente (mínimo local) e em x=1 de crescente a decrescente (máximo local).

Passo 3

Calculemos a derivada segunda para concavidade:
f''(x) =\frac{4x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}.
Zerando o numerador vêm os candidatos x=-\sqrt3,0,\sqrt3. O sinal de
x(x^2-3)
é negativo em (-\infty,-\sqrt3) e em (0,\sqrt3) (concavidade para baixo), e positivo em (-\sqrt3,0) e (\sqrt3,\infty) (concavidade para cima). Logo há pontos de inflexão em x=-\sqrt3,0,\sqrt3.

Passo 4

Interceptos e assíntotas:
– Para x-intercepto resolvemos f(x)=0\Rightarrow x=-1, ponto (-1,0).
– Para y-intercepto tomamos x=0\Rightarrow f(0)=1, ponto (0,1).
– Não há assíntotas verticais (domínio \mathbb R).
– Para x\to\pm\infty
f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=1+\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\to1,
logo assíntota horizontal y=1.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Mínimo local em \bigl(-1,0\bigr).
– Máximo local em \bigl(1,2\bigr).
– Pontos de inflexão em \bigl(-\sqrt3,1-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr), \bigl(0,1\bigr), \bigl(\sqrt3,1+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
– A curva decresce até x=-1, sobe até x=1, depois decresce se aproximando de y=1.

Resposta

(a) f decresce em (-\infty,-1) e em (1,\infty), cresce em (-1,1).
(b) f é côncava para baixo em (-\infty,-\sqrt3)\cup(0,\sqrt3) e côncava para cima em (-\sqrt3,0)\cup(\sqrt3,\infty).
(c) Pontos críticos: mínimo local em \bigl(-1,0\bigr), máximo local em \bigl(1,2\bigr). Pontos de inflexão em \bigl(-\sqrt3,1-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr), \bigl(0,1\bigr) e \bigl(\sqrt3,1+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
(d) Interceptos em (-1,0) e (0,1). Assíntota horizontal y=1, não há assíntotas verticais. Esboço: começa decrescendo de y\to1 no infinito negativo até (-1,0), sobe a (1,2), depois decresce novamente para a linha y=1.

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