Sobre a função
:
(a) Identifique os intervalos onde
cresce e onde decresce.
(b) identifique os intervalos onde
é côncava para baixo e onde é côncava para cima.
(c) Apresente os pontos críticos, indique quais são de máximo ou de mínimo locais e apresente os pontos de inflexão.
(d) Identifique se
possui assíntotas e realize o esboço do gráfico no plano cartesiano indicando pontos onde o gráfico corta os eixos coordenados.
(a) Identifique os intervalos onde
(b) identifique os intervalos onde
(c) Apresente os pontos críticos, indique quais são de máximo ou de mínimo locais e apresente os pontos de inflexão.
(d) Identifique se
Passo 1
O enunciado trata do estudo de curva de
para determinar onde ela cresce/decresce, sua concavidade, pontos críticos (máximos, mínimos e de inflexão), além de assíntotas e interceptos. Vamos usar derivadas primeira e segunda, exame de sinal e comportamento assintótico.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira por quociente. Se
então
Das raízes do numerador
e
obtemos a variação de sinal: em
e
temos
(decresce) e em
temos
(cresce). Os pontos críticos são
e
; em
a função vai de decrescente a crescente (mínimo local) e em
de crescente a decrescente (máximo local).
Passo 3
Calculemos a derivada segunda para concavidade:
Zerando o numerador vêm os candidatos
. O sinal de
é negativo em
e em
(concavidade para baixo), e positivo em
e
(concavidade para cima). Logo há pontos de inflexão em
.
Passo 4
Interceptos e assíntotas:
– Para -intercepto resolvemos
, ponto
.
– Para -intercepto tomamos
, ponto
.
– Não há assíntotas verticais (domínio ).
– Para
– Para
– Para
– Não há assíntotas verticais (domínio
– Para
logo assíntota horizontal
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
– Mínimo local em .
– Máximo local em .
– Pontos de inflexão em ,
,
.
– A curva decresce até , sobe até
, depois decresce se aproximando de
.
– Mínimo local em
– Máximo local em
– Pontos de inflexão em
– A curva decresce até
Resposta
(a)
decresce em
e em
, cresce em
.
(b) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
(c) Pontos críticos: mínimo local em , máximo local em
. Pontos de inflexão em
,
e
.
(d) Interceptos em e
. Assíntota horizontal
, não há assíntotas verticais. Esboço: começa decrescendo de
no infinito negativo até
, sobe a
, depois decresce novamente para a linha
.
(b)
(c) Pontos críticos: mínimo local em
(d) Interceptos em