Exercício 1. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \sqrt{\frac{x^{3}+1}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -1} \sqrt{\frac{x^3+1}{x+1}}
ou seja, é o limite de uma composição da raiz quadrada com o quociente \frac{x^3+1}{x+1}. Para resolver, vamos primeiro fatorar o polinômio do numerador e simplificar o quociente, depois usar a continuidade da raiz quadrada.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^3+1 usando soma de cubos:
x^3+1 = (x+1)(x^2 - x + 1).
Logo, para x\neq -1,
\frac{x^3+1}{x+1} = x^2 - x + 1.

Passo 3

Como a expressão simplificada x^2 - x + 1 é um polinômio contínuo, seu limite em x\to -1 é dado pela substituição direta:
\lim_{x\to -1}(x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 4

A função \sqrt{\,t\,} é contínua para t\ge0. Visto que o interior tende a 3>0, temos
\lim_{x\to -1} \sqrt{\frac{x^3+1}{x+1}} = \sqrt{\lim_{x\to -1}\frac{x^3+1}{x+1}} = \sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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