Resolva usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1^{+}}\frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, vamos aplicar a regra de L’Hospital, que diz que em caso de forma indeterminada 0/0 o limite é igual ao limite das derivadas.

Passo 2

Primeiro verificamos a forma indeterminada:
\sqrt[4]{1}-1=0 \quad\text{e}\quad \sqrt[3]{1}-1=0,
logo temos 0/0 e podemos usar L’Hospital.

Passo 3

Definimos
f(x)=x^{1/4}-1, \quad g(x)=x^{1/3}-1.
Suas derivadas são
f'(x)=\frac14\,x^{-3/4}, \quad g'(x)=\frac13\,x^{-2/3}.
Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to1^{+}}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to1^{+}}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 4

Agora calculamos
\frac{f'(x)}{g'(x)} =\frac{\tfrac14\,x^{-3/4}}{\tfrac13\,x^{-2/3}} =\frac{\tfrac14}{\tfrac13}\;x^{-3/4+2/3} =\frac34\,x^{-1/12}.
Aproximando x\to1 vem
\lim_{x\to1^{+}}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\frac34\cdot1 =\frac34.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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