Resolva usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos (3 x)}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x)}{x-\frac{\pi}{2}}
usando a regra de L’Hospital, que serve quando a forma é \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=\frac{\pi}{2}: \cos\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0 e \bigl(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Logo temos indeterminação \tfrac{0}{0}, e L’Hospital é aplicável.

Passo 3

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
a) Numerador f(x)=\cos(3x)
f'(x)=-3\sin(3x).
b) Denominador g(x)=x-\tfrac{\pi}{2}
g'(x)=1.

Passo 4

Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos(3x)}{x-\frac{\pi}{2}} =\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{-3\sin(3x)}{1} =-3\sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-3\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr).
Como \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1, resulta
-3\cdot(-1)=3.

Resposta

3

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