Utilize o método de Newton e uma calculadora para encontrar uma solução para a equação:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dado.
- Queremos resolver a equação
, isto é, encontrar tal que
- O enunciado já sugere uma solução aproximada
. Nosso objetivo é usar o método de Newton com uma calculadora para obter essa solução e mostrar o passo a passo. - Vou usar como chute inicial (valor inicial)
— escolha razoável porque a raiz sugerida está perto disso.
Passo 2
Explicando o método de Newton (intuição e fórmula).
- Ideia rápida e amigável: dado um chute
, aproximamos a curva por sua reta tangente em e achamos onde essa reta corta o eixo ; esse ponto de corte costuma ser muito mais perto da raiz verdadeira. Repetimos. - Fórmula do método de Newton (passo de iteração):
- Aqui
e precisamos da derivada . Vamos calcular :
- Critério de parada prático (usado aqui): parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas for menor que
em valor absoluto, ou quando ficar muito pequeno.
Passo 3
Cálculo da primeira iteração a partir de
.
- Calcular potências de
(use a calculadora):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
- Avaliar
:
Somando os termos:
E
Logo
- Avaliar
:
Calculando:
E
.
Somando:
Somando:
- Aplicar a fórmula de Newton:
Comentário amigo: já deu um salto grande e legal — estamos bem mais perto da raiz.
Passo 4
Segunda iteração: cálculo a partir de
.
Vou mostrar só os valores principais (potências e soma) — na prova faça as contas com a calculadora do mesmo jeito.
- Potências (avaliadas com a calculadora):
- Avaliar
:
Logo
- Avaliar
:
Substituindo os valores:
Somando:
- Nova iteração:
Observação: já voltamos a um valor em torno de
, bem alinhado com a raiz sugerida.
Passo 5
Terceira iteração: cálculo a partir de
(aqui faço as contas um pouco mais refinadas para mostrar que convergimos ao dígito pedido).
- Potências (calculadora):
- Avaliar
:
Logo
- Avaliar
:
Somando:
- Iteração:
Passo 6
Verificação do critério de parada e interpretação.
- Diferença entre as últimas duas iterações:
que já é bem menor que
e muito próximo do nível de precisão pedido (
casas decimais).
- Se desejar, poderia fazer mais uma iteração e verificar que a mudança fica na casa de
ou menor (convergência quadrática típica do método de Newton quando perto da raiz). - Portanto a solução encontrada com a precisão indicada é