Utilize o método de Newton e uma calculadora para encontrar uma solução para a equação:
x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}-x^{2}+x=1 \quad x=0,740022

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado.
  • Queremos resolver a equação x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}-x^{2}+x=1, isto é, encontrar x tal que
f(x)=x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1=0.
  • O enunciado já sugere uma solução aproximada x=0,740022. Nosso objetivo é usar o método de Newton com uma calculadora para obter essa solução e mostrar o passo a passo.
  • Vou usar como chute inicial (valor inicial) x_{0}=0{,}700000 — escolha razoável porque a raiz sugerida está perto disso.

Passo 2

Explicando o método de Newton (intuição e fórmula).
  • Ideia rápida e amigável: dado um chute x_{n}, aproximamos a curva y=f(x) por sua reta tangente em x_{n} e achamos onde essa reta corta o eixo x; esse ponto de corte costuma ser muito mais perto da raiz verdadeira. Repetimos.
  • Fórmula do método de Newton (passo de iteração):
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Aqui f(x)=x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1 e precisamos da derivada f'(x). Vamos calcular f'(x):
f'(x)=7x^{6}+6x^{5}+5x^{4}+4x^{3}-2x+1.
  • Critério de parada prático (usado aqui): parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas for menor que 10^{-6} em valor absoluto, ou quando |f(x_n)| ficar muito pequeno.

Passo 3

Cálculo da primeira iteração a partir de x_{0}=0{,}700000.
  1. Calcular potências de x_{0} (use a calculadora):
  • x_{0}^{2}=0{,}7^{2}=0{,}49.
  • x_{0}^{3}=0{,}343.
  • x_{0}^{4}=0{,}2401.
  • x_{0}^{5}=0{,}16807.
  • x_{0}^{6}=0{,}117649.
  • x_{0}^{7}=0{,}0823543.
  1. Avaliar f(x_{0}):
f(0{,}7)=0{,}0823543+0{,}117649+0{,}16807+0{,}2401-0{,}49+0{,}7-1.
Somando os termos:
\text{soma dos termos de grau 4 a 7}=0{,}0823543+0{,}117649+0{,}16807+0{,}2401=0{,}6081733.
E
-0{,}49+0{,}7-1=-0{,}79.
Logo
f(0{,}7)=0{,}6081733-0{,}79=-0{,}1818267.
  1. Avaliar f'(x_{0}):
f'(0{,}7)=7(0{,}117649)+6(0{,}16807)+5(0{,}2401)+4(0{,}343)-2(0{,}7)+1.
Calculando:
7x^{6}=0{,}823543,\quad 6x^{5}=1{,}00842,\quad 5x^{4}=1{,}2005,\quad 4x^{3}=1{,}372.
E -2x+1=-1{,}4+1=-0{,}4.
Somando:
f'(0{,}7)\approx0{,}823543+1{,}00842+1{,}2005+1{,}372-0{,}4=4{,}004463.
  1. Aplicar a fórmula de Newton:
x_{1}=0{,}7-\frac{-0{,}1818267}{4{,}004463}=0{,}7+0{,}045406\approx0{,}745406.
Comentário amigo: já deu um salto grande e legal — estamos bem mais perto da raiz.

Passo 4

Segunda iteração: cálculo a partir de x_{1}\approx0{,}745406.
Vou mostrar só os valores principais (potências e soma) — na prova faça as contas com a calculadora do mesmo jeito.
  1. Potências (avaliadas com a calculadora):
x_{1}^{2}\approx0{,}555648,\quad x_{1}^{3}\approx0{,}414200,\quad x_{1}^{4}\approx0{,}308972,
x_{1}^{5}\approx0{,}230286,\quad x_{1}^{6}\approx0{,}171678,\quad x_{1}^{7}\approx0{,}127934.
  1. Avaliar f(x_{1}):
\text{soma dos graus 4 a 7}\approx0{,}127934+0{,}171678+0{,}230286+0{,}308972=0{,}838870.
- x_{1}^{2}+x_{1}-1\approx-0{,}555648+0{,}745406-1=-0{,}810242.
Logo
f(x_{1})\approx0{,}838870-0{,}810242=0{,}028628.
  1. Avaliar f'(x_{1}):
f'(x_{1})=7x_{1}^{6}+6x_{1}^{5}+5x_{1}^{4}+4x_{1}^{3}-2x_{1}+1.
Substituindo os valores:
7x_{1}^{6}\approx1{,}201746,\;6x_{1}^{5}\approx1{,}381716,\;5x_{1}^{4}\approx1{,}544860,\;4x_{1}^{3}\approx1{,}656800,
-2x_{1}+1\approx-1{,}490812+1=-0{,}490812.
Somando:
f'(x_{1})\approx5{,}294310.
  1. Nova iteração:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx0{,}745406-\frac{0{,}028628}{5{,}294310}\approx0{,}740008.
Observação: já voltamos a um valor em torno de 0{,}740, bem alinhado com a raiz sugerida.

Passo 5

Terceira iteração: cálculo a partir de x_{2}\approx0{,}740008 (aqui faço as contas um pouco mais refinadas para mostrar que convergimos ao dígito pedido).
  1. Potências (calculadora):
x_{2}^{2}\approx0{,}547611396,\quad x_{2}^{3}\approx0{,}405236650,\quad x_{2}^{4}\approx0{,}299878241,
x_{2}^{5}\approx0{,}221912208,\quad x_{2}^{6}\approx0{,}164216742,\quad x_{2}^{7}\approx0{,}121521654.
  1. Avaliar f(x_{2}):
\text{soma dos graus 4 a 7}\approx0{,}121521654+0{,}164216742+0{,}221912208+0{,}299878241=0{,}807528845.
- x_{2}^{2}+x_{2}-1\approx-0{,}547611396+0{,}7400077-1=-0{,}807603696.
Logo
f(x_{2})\approx0{,}807528845-0{,}807603696=-0{,}000074851\quad(\text{aprox. }-7{,}4851\times10^{-5}).
  1. Avaliar f'(x_{2}):
7x_{2}^{6}\approx1{,}149517196,\;6x_{2}^{5}\approx1{,}331473245,\;5x_{2}^{4}\approx1{,}499391206,
4x_{2}^{3}\approx1{,}620946598,\;-2x_{2}+1\approx-0{,}4800154.
Somando:
f'(x_{2})\approx5{,}121312847.
  1. Iteração:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx0{,}7400077-\frac{-0{,}000074851}{5{,}121312847}\approx0{,}7400077+0{,}000014619\approx0{,}740022319.

Passo 6

Verificação do critério de parada e interpretação.
  • Diferença entre as últimas duas iterações:
|x_{3}-x_{2}|\approx|0{,}740022319-0{,}7400077|=0{,}000014619\approx1{,}46\times10^{-5},
que já é bem menor que 10^{-4} e muito próximo do nível de precisão pedido ( 6 casas decimais).
  • Se desejar, poderia fazer mais uma iteração e verificar que a mudança fica na casa de 10^{-10} ou menor (convergência quadrática típica do método de Newton quando perto da raiz).
  • Portanto a solução encontrada com a precisão indicada é
x\approx0{,}740022.

Resposta

x=0{,}740022

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