Derivar implicitamente
2 x y+sen(y)=2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A gente tem a equação 2xy + sin(y) = 2pi e precisa encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, dydx. Para isso, vamos usar a técnica de derivação implícita, que é útil quando y está misturado com x na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que quando diferenciamos termos que envolvem y, precisamos aplicar a regra da cadeia porque y é uma função de x.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo, 2xy. Aqui temos um produto de x e y, então usamos a regra do produto:
ddx(2xy) = 2 ( ddx(x) cdot y + x cdot ddx(y) ) = 2 (1 cdot y + x cdot dydx) = 2y + 2x dydx

Passo 4

Agora vamos derivar o segundo termo, sin(y). Aqui usamos a regra da cadeia porque y é função de x:
ddx(sin(y)) = cos(y) cdot dydx

Passo 5

Derivamos o lado direito da equação, que é 2pi. A derivada de uma constante é zero:
ddx(2pi) = 0

Passo 6

Juntando tudo, a derivação da equação fica:
2y + 2x dydx + cos(y) dydx = 0

Passo 7

Agora, vamos isolar dydx. Primeiro, agrupamos os termos que contêm dydx:
2x dydx + cos(y) dydx = -2y

Passo 8

Fatoramos dydx do lado esquerdo:
dydx (2x + cos(y)) = -2y

Passo 9

Por fim, resolvemos para dydx:
dydx = -2y2x + cos(y)

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
dydx = -2y2x + cos(y)

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