Seja f(x)=e^x+e^-x2, mostre que:
f[ln (x+raizx^2-x)]=x

Passo 1

O enunciado define
f(x)=e^x+e^-x2
e pede para mostrar que
fl[lnl(x+raizx^2-xr)r]=x
Perceba, porém, que habitualmente temos a identidade
cosh(ln y)=y + y^-12,
e que a fórmula clássica de arco‐cosseno hiperbólico é
arcosh(x)=ln!l(x+raizx^2-1r),
para a qual de fato
coshl(arcosh(x)r)=x
Aqui, porém, sob o radical aparece x^2-x em vez de x^2-1. Vamos verificar se o enunciado com x^2-x de fato satisfaz a igualdade proposta.

Passo 2

Calculemos
fl[lnl(x+raizx^2-xr)r] =e^lnl(x+raizx^2-xr)+e^-lnl(x+raizx^2-xr)2
Usando e^ln A=A e e^-ln A=1/A, isto fica
x+raizx^2-x ;+;1,x+raizx^2-x,2

Passo 3

Vamos simplificar
1,x+raizx^2-x, =x-raizx^2-x(x+raizx^2-x)(x-raizx^2-x) =x-raizx^2-xx^2-(x^2-x) =x-raizx^2-xx
Logo o numerador do quociente em ( 2) é
x+raizx^2-x +x-raizx^2-xx =;x+raizx^2-x +;1;-;raizx^2-xx

Passo 4

Agrupando termos:
x+1 ;+;raizx^2-xl(1-tfrac1xr) =x+1+raizx^2-x,x-1x
Não há cancelamento que reduza tudo a 2x. Isto mostra que
fl[lnl(x+raizx^2-xr)r] ;=;x+1+raizx^2-x,x-1x2;neq;x
em geral.

Passo 5

Concluímos que, com o radical raizx^2-x, a igualdade
fl[lnl(x+raizx^2-xr)r]=x
não se mantém para valores arbitrários de x. De fato, o resultado clássico só vale quando o radical é raizx^2-1.

Resposta

A fórmula não é verdadeira como dada. O enunciado contém um provável erro de digitação: o correto seria
fl[lnl(x+raizx^2-1r)r]=x,
já que nesse caso f(x)=cosh(x) e lnl(x+raizx^2-1r)=arcosh(x). Com raizx^2-x não existe identidade que reduza ao valor x.

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