Derivar implicitamente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer uma derivada implícita da seguinte equação:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas implícitas, que é uma técnica usada quando y está misturado com x na equação e não está isolado. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar cada termo em relação a x e lembrar que, quando derivamos termos que têm y, precisamos também multiplicar pela derivada de y em relação a x (ou seja,
).
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Vamos fazer isso passo a passo.
Derivando o lado esquerdo da equação:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo individualmente.
-
Derivada de
: - Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a x é .
- Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
-
Derivada de
: - Isso é mais simples. A derivada de
em relação a x é .
- Isso é mais simples. A derivada de
-
Derivada de
: - Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a x é .
- Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de
-
Derivada de
: - A derivada de
em relação a x é simplesmente .
- A derivada de
Passo 4
Substituindo as derivadas que calculamos de volta na equação, temos:
Passo 5
Agora, nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos reorganizar os termos:
Passo 6
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por 2:
Resposta
A derivada implícita é: