Derivar implicitamente
Y^2+x^2=y^wed>= 4-2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer uma derivada implícita da seguinte equação:
Y^2 + x^2 = y^4 - 2x
Aqui, estamos trabalhando com derivadas implícitas, que é uma técnica usada quando y está misturado com x na equação e não está isolado. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar cada termo em relação a x e lembrar que, quando derivamos termos que têm y, precisamos também multiplicar pela derivada de y em relação a x (ou seja, dydx ).

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Vamos fazer isso passo a passo.
Derivando o lado esquerdo da equação:
ddx(Y^2) + ddx(x^2) = ddx(y^4) - ddx(2x)

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo individualmente.
  1. Derivada de Y^2 :
    • Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de Y^2 em relação a x é 2Y cdot dYdx .
  2. Derivada de x^2 :
    • Isso é mais simples. A derivada de x^2 em relação a x é 2x .
  3. Derivada de y^4 :
    • Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de y^4 em relação a x é 4y^3 cdot dydx .
  4. Derivada de -2x :
    • A derivada de -2x em relação a x é simplesmente -2 .

Passo 4

Substituindo as derivadas que calculamos de volta na equação, temos:
2Y cdot dYdx + 2x = 4y^3 cdot dydx - 2

Passo 5

Agora, nosso objetivo é isolar dydx . Para isso, vamos reorganizar os termos:
2Y cdot dYdx - 4y^3 cdot dydx = -2x - 2

Passo 6

Fatorando dydx do lado esquerdo:
dydx cdot (2Y - 4y^3) = -2x - 2

Passo 7

Finalmente, isolamos dydx dividindo ambos os lados por (2Y - 4y^3) :
dydx = -2x - 22Y - 4y^3
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por 2:
dydx = -(x + 1)Y - 2y^3

Resposta

A derivada implícita é:
dydx = -(x + 1)Y - 2y^3

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