Use a Regra da Cadeia para achar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=sen theta cos phi, x=s t^2, phi=s^2 t

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia em funções compostas. Temos
z = sintheta;cosphi, theta = s,t^2, phi = s^2t,
e queremos calcular partial z/partial s e partial z/partial t.

Passo 2

A regra da cadeia para duas variáveis pode ser escrita como
partial zpartial s = partial zpartial theta,partial thetapartial s + partial zpartial phi,partial phipartial s, partial zpartial t = partial zpartial theta,partial thetapartial t + partial zpartial phi,partial phipartial t

Passo 3

Primeiro computamos as derivadas parciais de z em relação a theta e phi. Como
z(theta,phi) = sintheta;cosphi,
temos
partial zpartial theta = costheta;cosphi, partial zpartial phi = -,sintheta;sinphi

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de theta e phi em relação a s:
theta(s,t) = s,t^2 ;Longrightarrow; partial thetapartial s = t^2, phi(s,t) = s^2t ;Longrightarrow; partial phipartial s = 2,s,t
Substituindo na regra da cadeia:
partial zpartial s = costhetacosphicdot t^2 + (-sinthetasinphi)cdot 2,s,t = t^2costhetacosphi -2,s,t,sinthetasinphi

Passo 5

Por fim, derivamos theta e phi em relação a t:
partial thetapartial t = 2,s,t, partial phipartial t = s^2
Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial t = costhetacosphicdot 2,s,t + (-sinthetasinphi)cdot s^2 = 2,s,t,costhetacosphi - s^2,sinthetasinphi

Resposta

partial zpartial s = t^2costhetacosphi -2,s,t,sinthetasinphi, partial zpartial t = 2,s,t,costhetacosphi - s^2,sinthetasinphi

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