Derivar e Siuplificar
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função y = x^7 · ln(x). O assunto aqui é derivação de produto de funções e vamos precisar da regra do produto e da derivada de ln(x).
Passo 2
Vamos definir duas funções auxiliares: f(x) = x^7 e g(x) = ln(x). Sabemos que f
'(x) = 7x^6 (derivada de potência) e g
'(x) = 1/x (derivada do logaritmo natural).
'(x) = 7x^6 (derivada de potência) e g
'(x) = 1/x (derivada do logaritmo natural).
Passo 3
Aplicando a regra do produto y
’ = f
'(x)·g(x) + f(x)·g
'(x), obtemos: y
’ = 7x^6·ln(x) + x^7·(1/x).
Na segunda parcela x^7·(1/x) simplifica para x^6. Agora fatoramos x^6 em ambas as parcelas para simplificar ainda mais.
’ = f
'(x)·g(x) + f(x)·g
'(x), obtemos: y
’ = 7x^6·ln(x) + x^7·(1/x).
Na segunda parcela x^7·(1/x) simplifica para x^6. Agora fatoramos x^6 em ambas as parcelas para simplificar ainda mais.
Passo 4
Fatorando x^6 vem y
’ = x^6·(7·ln(x) + 1).
’ = x^6·(7·ln(x) + 1).