Derive:
(a) r(t)=(t e^t,-sen(t) cos (t), sen(t)).

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função vetorial r(t) = (t e^t, -sen(t) cos(t), sen(t)). Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial de funções vetoriais. Para isso, precisaremos aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e trigonométricas, derivando cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para derivar uma função vetorial, derivamos cada uma das suas componentes em relação a t. Ou seja, se r(t) = (x(t), y(t), z(t)), então r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)).

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente: x(t) = t e^t. Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de uma multiplicação de duas funções é a derivada da primeira pela segunda mais a primeira pela derivada da segunda. Então:
x'(t) = ddt(t) cdot e^t + t cdot ddt(e^t) = 1 cdot e^t + t cdot e^t = e^t(1 + t)

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente: y(t) = -sen(t) cos(t). Novamente, aplicamos a regra do produto:
y'(t) = -( ddt sen(t) cdot cos(t) + sen(t) cdot ddt cos(t) )
Sabemos que ddt sen(t) = cos(t) e ddt cos(t) = -sen(t). Substituindo:
y'(t) = -( cos(t) cdot cos(t) + sen(t) cdot (-sen(t)) ) = -( cos^2(t) - sen^2(t) )

Passo 5

Por último, derivamos a terceira componente: z(t) = sen(t). A derivada de sen(t) é cos(t):
z'(t) = cos(t)

Resposta

A derivada da função vetorial é:
r'(t) = ( e^t(1 + t), -cos^2(t) + sen^2(t), cos(t) )

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